【学案】天津中考数学复习--圆(学生版)

中考数学之圆的相关知识（学案）1中考数学•圆基础知识一、圆的基本性质：1.圆的定义：⑴描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径。⑵集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫圆心，定长叫半径。⑶圆的表示方法：通常用符号______表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记做__________，读作圆O。⑷同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆称作_______；圆心相等，半径不相等的圆称作__________；能够重合的两个圆叫做__________。注意：同圆或等圆的________相等。2.弦和弧:(1)连接圆上____________线段叫做弦;(2)直径：__________叫做直径，直径等于半径的________；(3)弦心距：从___________距离称作弦心距；(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以CD为端点的记做_______，读作弧CD(5)等弧：在同圆或等圆中，________________弧叫做等弧；(6)半圆：圆的任意一条直径的端点分圆为两条弧，每一条弧都叫做半圆；(7)优弧、劣弧：___________弧叫做优弧，_____________叫做劣弧；(8)弓形：由____________________组成的图形叫做弓形。3.圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点到圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对1º的圆心角，我们也称这样的弧为1º的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。（3）圆周角定理：_________________________________________________推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆所对的圆周角是直角，90º的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相同，那么他们所对应的其他量也相同。注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时要注意：优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等中考数学之圆的相关知识（学案）2（5）直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等；经过圆心及一弦中点的垂线垂直平分该弦4.圆的对称性圆是轴对称图形，_________________是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是_____________________5.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论①平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧垂直③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等注意：应用垂径定理与推论计算时，往往要构建直角三角形，在一个圆中，若已知半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理与勾股定理可知：_____________________,据此公式可知三个量中，知道任意两个，即可求出第三个。6.切线长定理（1）切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。注意：我们要明确切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。二、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系：（1）点点与圆的位置关系可分为点在圆上、点在圆内，点在圆外三种情况，这三种位置关系，与点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)之间有着紧密的联系。其对应关系可表示为如下：(2)圆心和半径是确定圆的两个元素，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以过已知点画圆的问题，应紧紧抓住圆心位置和半径大小进行探讨。位置关系图形定义性质及判定PrO点在圆的外部dr点P在O⊙的外部.PrO点在圆周上dr点P在O⊙的圆周上.PrO点在圆的内部dr点P在O⊙的内部.中考数学之圆的相关知识（学案）3经过平面上一点可以做无数个圆；经过平面上两个点也可以做无数个圆；经过不在同一条直线上的三个点只能做一个圆。(3)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。注意：三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线。2.直线与圆的位置关系（1）设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：注意：若一条直线与一个圆没有公共点，那么这条直线与这个圆相离；若一个直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切；若一条直线与一个圆有两个公共点，那么这条直线与这个圆相交。3.圆的切线（1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（3）垂直于经过切点的半径推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点②经过切点且垂直于切线的直线必过圆心注意：①②是对“切线的识别”的两种叙述方式，虽然形式上不相同，但在本质上是一致的，在解题时，我们可根据题目特点灵活选择适当的方法。在应用切线的识别方法时，必须先弄清“题设”中的两个事项：一是经过半径外端，二是垂直于这条半径，这两条缺一不可。4三角形的内切圆：与三角形各边都内切的圆叫做三角形的内切圆。位置关系图形定义性质及判定lOdr直线与圆没有公共点.dr直线l与O⊙相离lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.dr直线l与O⊙相切lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.dr直线l与O⊙相交直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称中考数学之圆的相关知识（学案）4三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。注意：三角形的呢新就是三角形三条内角平分线的交点。5.三角形内心、外心有关知识3、圆与圆的位置关系在平面内，两圆做相对运动，可以得到下面不同的位置（其中设R、r、为两圆的半径，d为圆心距）从上表可以看出，两种圆的五种位置关系是从d很大，然后逐渐减小，它们的位置从外离逐渐演变为内含注意：两圆内含时，如果d=0，则两圆同心，这是内含的一中特殊情况。两圆的连心线1.定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线．2.性质：⑴如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上；⑵相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．两圆的公切线1.定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线；内公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做内公切线．名称确定方法性质三角形三边垂直平分线的交点①外心到三角形三个顶点距离相等②外心不一定在三角形的内部三角形三个内角的平分线的交点①内心到三角形三边距离相等②内心到三角形三个顶点的连线分别平分三个顶角位置关系图形定义性质及判定rRO1O2两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．dRr两圆外离rRO2O1两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．dRr两圆外切rRO1O2两个圆有两个公共点．RrdRr两圆相交rRO1O2两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．dRr两圆内切rRO1O2两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0dRr两圆内含中考数学之圆的相关知识（学案）52.公切线条数与两圆的位置关系⑴若两圆外离，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__；⑵若两圆外切，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__；⑶若两圆相交，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__；⑷若两圆内切，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__；⑸若两圆内含，则外公切线条数为__，内公切线条数为__，公切线总数为__；3.性质：⑴若两圆有两条外（内）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线的夹角；⑵若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切，则两圆的连心线垂直两圆的外公切线．特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行．4.公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．5.公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条内公切线的长也相等．三、与圆有关的计算1.正多边形的概念：一般的，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。2.弧长公式：在半径为R的圆中，360º的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1º的圆心角所对的弧长是______，于是在半径为R的圆中，nº的圆心角所对的弧长_____3扇形的面积公式一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。S=3602Rn①S=lR21②注意：（1）已知半径R和圆心角n，求扇形的面积时应选用①；（2）已知半径R和弧长L,求扇形面积引用②(3)根据扇形面积公式和弧长公式，已有面积、弧长、n、R四个量中的任意两个量，都可以求另外两个量（4）扇形的周长=2R+L弧4，弓形的面积：（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形（2）弓形的周长=弦长+弧长（3）弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积注意：弓形的面积可看做扇形的面积和三角形面积的分解和组合，弓形的面积都可以化为扇形面积与三角形面积的和与差5圆柱的侧面展开图及计算圆柱侧的面积________圆柱全面积=_____________________________6.圆锥的侧面展开图及面积计算圆锥底面上圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，圆锥侧面的面积_____，圆锥全部的面积________中考数学之圆的相关知识（学案）6直通中考已知AB与O⊙相切于点C，OAOB，OAOB、与O⊙分别交于点DE、．（Ⅰ）如图①，若O⊙的直径为8，10AB，求OA的长（结果保留根号）；（Ⅱ）如图②，连接CDDE、，若四边形ODCE为菱形，求ODOA的值已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（Ⅰ）如图①，若2AB，30P，求AP的长（结果保留根号）；（Ⅱ）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.如图，已知AB为O⊙的直径，PAPC，是O⊙的切线，AC，为切点，30BAC°（Ⅰ）求P的大小；（Ⅱ）若2AB，求PA的长（结果保留根号）．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，（Ⅰ）求AOD的度数；（Ⅱ）若8AOcm，6DOcm，求OE的长．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．ABCOP图①ABCOPD图②第（22）题PCAOABDCEO