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1(13)2．借助长方体模型，在直观地认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理～．．了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小．_________________________________()______1_____4_23：如果一条直线上的①在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．过②的三点，有且只有一个平面．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们③过该点的公共直线公一、平面的基本性质及公理理公理：公理：公．平行公理平行于④的两直线互理：相平行．121////______()2abOaabbabab．位置关系的分类⑤共面直线⑥异面直线：不同⑦在一个平面内．异面直线所成的角定义：设，是两条二、直线与直异面直线，经过空间中任一点作直线，，把与所成的⑧叫做异面直线的位置线与所成的角或夹角关．系范围__________________.：⑨三、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面a内直线a在平面a内直线a在平面a内公共点有⑩____个公共点有且只有____个公共点____个公共点符号表示_____________________________图形表示四、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行________________公共点两平面相交斜交垂直有____个公共点，且都在一条直线上有____个公共点，且都在一条直线上_______.空间中如果两个角的两边分别对应平行，五那么这两个角、等角定理(0]21////aaAaalaaaaa①两点；②不在同一直线上；③有一条；④同一直线；⑤相交直线；⑥平行直线；⑦任何；⑧锐角或直角；⑨，；⑩无数；；没有；；；；；没有；；无数；；无数；【相要点指南】等或互补1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．Al，l⊄αD．Al，l∉α【解析】本小题考查立体几何中的符号语言．2.若空间三条直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则直线a与c(D)A．一定平行B．一定相交C．一定是异面D．平行、相交、异面都有可能3.(2011·四川卷)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】由l1⊥l2，l2∥l3，根据异面直线所成角知l1与l3所成角为90°，选B.4.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是平行或相交.【解析】当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α异侧时，l与α相交．5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中．①A1B1与BC所成的角为90°；②A1C1与AB所成的角为45°；③A1C1与AB1所成的角为60°.一基本概念问题【例1】下列命题中：①若直线a与b没有公共点，则a∥b；②若直线b∥平面α，直线a⊂α，则b∥a；③若平面α∥β，b⊂β，a⊂α，则b∥a；④若直线a不在平面α内，则a∥α；⑤长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD与平面A1BC1只有一个公共点B；⑥直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．3D．4【分析】平面几何的知识向立体几何推广的时候，要慎重．在直线与直线的位置关系中，空间中多了一种全新的异面关系，复习时应借助熟悉的空间几何图形，理解这种关系．【解析】此题考查的是空间点、线、面的位置关系，解决此类问题要概念清晰，逐个分析，可借助熟悉的图形．①直线a与b没有公共点，a、b可能平行或异面；②直线b∥平面α，直线a⊂α，a、b可能平行或异面；③若平面α∥β，b⊂β，a⊂α，可知直线b与a无公共点，则a与b可平行也可异面；④若直线a不在平面α内，则a与α相交或平行；⑤平面与平面如果有公共点，就不止一个，应该有一条过B的公共直线．⑥在空间内，考虑问题要脱离平面的束缚，长方体的共点的三条棱两两垂直，便是反例．据以上分析，故选A.【点评】本题易错在：(1)分析命题①⑥时把平面几何中的结论直接照搬，不加分析；(2)分析命题⑤时，只看到表面上只有一个交点，误以为这两个面只有一个交点．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m素材1【解析】当l⊥m，m⊂α时，l可能在平面α内，也可能平行平面α或与平面α相交，故A不对；因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面，故B正确；当l∥α，m⊂α时，l∥m或l与m异面，故C不对；当l∥α，m∥α时，l∥m或l与m相交或l与m异面，故D不对．二平面的基本性质及平行公理的应用【点评】1.证点、线共面的常用方法：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明α、β重合．2．点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这个平面的交线上．3．证线共点问题证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上．正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：C1、O、M共线．【分析】寻找两个相交平面→确定C1、O、M在这两个平面内→得结论.素材2【证明】如图所示，A1A∥C1C⇒确定平面A1C.A1C⊂平面A1C又O∈A1C⇒O∈平面A1C.A1C∩平面BC1D＝O⇒O∈平面BC1D⇒O在平面A1C与平面BC1D的交线上．AC∩BD＝M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C＝C1M⇒O∈C1M，即O、C1、M三点共线．三求异面直线所成的角【例3】如图，正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是AD、BC的中点．求EF、CD所成角的大小．【解析】设G是AC的中点，连接GE，GF，则GE∥CD，所以∠GEF是直线EF、CD所成的角，设为θ.因为E、F分别为AD、BC的中点，所以CE⊥AD，AF⊥BC，DF⊥BC.因为AF∩DF＝F，所以BC⊥平面AFE，所以EF⊥BC.所以EF2＝EC2－CF2＝CD2－CF2－DE2＝a2－12a2＝12a2，FG＝EG＝12a，所以cosθ＝12a2＋14a2－14a22·22a·12a＝12a222a2＝22，则θ＝45°.所以EF、CD所成角的大小为45°.【点评】求异面直线的夹角，需要在几何体中作线段的平移．求异面直线所成的角一般方法是平移法，通过平移构造三角形，利用正弦定理和余弦定理求解．如果两条直线具有垂直关系，则直接用垂直的判定定理．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°素材3【解析】由原来的直三棱柱补成一个正方体ABDC－A1B1D1C1.因为AC1∥BD1，所以∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角．因为△A1BD1为正三角形，所以∠A1BD1＝60°.【点评】异面直线所成的角是一个重点考查的内容，难点在于寻找异面直线的平行线，本题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角．备选例题如图，设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AEEB＝AHDH＝λ，CFFB＝CGGD＝μ.(1)若λ＝μ，判断四边形EFGH的形状；(2)若λ≠μ，判断四边形EFGH的形状．1()2233．平面的三个基本性质是立体几何的推理依据，要注意通过作图特别是截面图的训练，加深对公理的掌握和理解．确定平面的公理及三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据．．证明若干个点共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点，再由公理可知它们共线．．证明点共面，线共面的基本途径是由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其他元素也在该平面内．44567．学习空间平行直线时，要掌握等角定理，并能熟练地应用公理论证有关直线平行问题．．理解异面直线的定义，对“不同在任何一个平面内的两条直线”要有深刻的认识．．求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是：①选点平移；②证明所作角为异面直线的夹角；③解三角形求角．．处理异面直线问题，通常的思路是将空间问题平面化处理．