第四章平面一般力系

§4-1力线平移定理BoAF力的可传性第四章平面一般力系AodFF1F2AodF1m(F1,F2)--平衡力F1=F2=Fm=Fd=mo(F)(F2,F)--力偶AodF作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩。力的平移定理：AodFAodFm一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶。反之同平面的一个力F和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F相同的力，其作用点到力作用线的距离为Fmd力的平移定理的逆定理旋球AFoFMFFM平面一般力系向一点简化的实质是利用力的平移定理将一个平面一般力系变换为平面汇交力系和平面力偶系。一、主矢和主矩设在刚体上作用一平面一般力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,A2,…An如图所示。在平面上任选一点o为简化中心。oA1A2AnF1F2Fn§4-2平面一般力系向一点的简化原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1‘,F2’,…Fn‘以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,…mn的附加平面力偶系。oF1'F2'Fn'm1m2mnF1=F1,F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)根据力的平移定理,将各力平移到简化中心O。其中：oA1A2AnF1F2Fno一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R‘称为原力系的主矢。FR'=F'i=Fi一般情况下附加平面力偶系可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩。Mo=mi=mo(Fi)FR'MOoA1A2AnF1F2FnoF1'F2'Fn'm1m2mn平面一般力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,它等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,它等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和。力系的主矢FR'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向与简化中心的位置无关。力系对于简化中心的主矩Mo,一般与简化中心的位置有关。结论ooF1'F2'Fn'm1m2mnoA1A2AnF1F2Fn主矢的计算:Mo=mo(Fi)XyXyXyF/Rx=F/xi=FxiF/Ry=F/yi=Fyi2222)()()()(yxRyRxRFFFFF大小：号判定。指向可根据投影的正负方向：,xyRxRyFFFFtg主矩的计算:FR'MO二：简化结果的讨论(a)FR'0,Mo=0：FR'=FioFR'MOoFR'原力系简化为一个作用于简化中心O的合力FR'原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo。Mo=mo(Fi)oFR'MOoMO(b)FR'=0,Mo0：oFR01力系可以简化为一个合力FR,其大小和方向均与FR/相同，但是作用在另一点O1。即：FR=FR'oFR'MOdRMdo(c)FR'0,Mo0：根据力的平移定理的逆定理：其作用线位置与简化中心点O的距离为:合力矩定理：当平面一般力系简化为一个合力时,合力对力系所在平面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点的矩的代数和。mo(FR)=FRd=MO而MO=mo(Fi)mo(FR)=mo(Fi)OFR01d合力对o点的矩：RoFMdxy(x,0)FRxFRymo(FR)=mo(FRx)+mo(FRy)=FRyx=MOxRyoRyoFMFMx(d)FR=0,Mo=0原力系为平衡力系，其简化结果与简化中心的位置无关。三、固定端约束:A既能限制物体移动又能限制物体转动的约束AFAyFAxmA1、当被固定端约束的物体所受的主动力是平面一般力系时，物体所受的约束反力也一定形成一个与主动力有关的平面一般力系。RAmA例题1图示力系有合力。试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离。AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解1取A点为简化中心，建立图示坐标系：xy主矢：FR/=Fi主矩：MA=mA(Fi)平面一般力系的简化示例AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o2、求力系的主矢F/Rx=FiX=20cos60o+18cos30o=25.59kNF/Ry=Fiy=25+20sin60o-18sin30o=33.3kNkNFFFRyRxR01.423.3259.2522大小：048.5259.253.32arctgFFarctgRxRy方向：F/RAB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oF/R3、求力系的主矩MA=mA(Fi)=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o=32.64kN.mMA因为主矢、主矩均不为0，所以简化的最终结果为一个合力，此合力的大小和方向与主矢相同。xAB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o4、求合力的作用线位置mFMxRyA98.032.3364.32FRXC所以简化的最终结果为一个合力FR。F/RMAx=ACxABAabBqqx(1)定义集中力;分布荷载;平行分布线荷载(线荷载)线荷载集度qN/m;kN/m均布线荷载非均布线荷载荷载图§4-3分布荷载(2)均布线荷载AabBqRCl/2lABabqCR合力大小:R=qxi=qxi=ql合力作用线通过中心线AB的中点Cxiqxi(3)按照线性规律变化的线荷载ABbqmdxCx2l/3lRqdx合力大小:lqdxR0合力作用点C的位置lqxdxACR0lAC32xdxlqlm0lqm21lmdxxlq02231lqm§4-4平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。FR'=0MO=0二、平面一般力系的平衡方程22)()(yxRFFF主矢的大小：=0=0主矩：Mo=mo(Fi)Fx=0Fy=0mo(Fi)=0(a)一力矩式(b)二力矩式要求：投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直。(c)三力矩式要求：三个矩心A,B和C不在一直线上。mA(Fi)=0mB(Fi)=0Fx=0mA(Fi)=0mB(Fi)=0mC(Fi)=0xABABC一般力系平衡方程的应用1、审题，确定研究对象，取分离体，画受力图；2、适当选取投影轴和矩心或矩轴，列平衡方程；3、解平衡方程，得未知量。如何做到列一个方程，就能解出一个未知量例题4-1.由水平杆AB和斜杆CD构成的管道支架如图所示。在AB杆上放重为G1=12KN和G2=7KN的管道。A,D,C处都是铰链连接，不计各杆的自重。求:支座A、C处的约束反力。ACBDG1600G230cm30cm解：1.选取整体为研究对象，画出受力图：FCFAxFAymA(Fi)=0d0603021dFGGCFC=26KN(a)一力矩式2.建立坐标系：xy03.列平衡方程：ACBDG1600G230cm30cmACBDG230cm30cmG1600d=30cmFx=0FCFAxFAyd(a)一力矩式xy0ACBDG1600G230cm30cmACBDG230cm30cmG1600d=30cmFAx=-22.5KNFy=0FAx+FCcos300=0FAy+FCsin300-G1-G2=0FAy=6KN负号说明它的实际方向和假设方向相反。FCFAxFAyd(b)二力矩式xy0ACBDG1600G230cm30cmACBDG230cm30cmG1600d=30cmFAx=-22.5KNFx=0FAx+FCcos300=0mA(Fi)=00603021dFGGCmD(Fi)=0060301AyFGFAy=6KNFC=26KNFCFAxFAyd(c)三力矩式xy0ACBDG1600G230cm30cmACBDG230cm30cmG1600d=30cmFAx=-22.5KNmA(Fi)=00603021dFGGCmD(Fi)=0060301AyFGFAy=6KNFC=26KNmC(Fi)=00603021GGACFAx例题4-2在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在梁的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为,如图所示。梁长为l且自重不计。求支座A和B的反力。l/2l/2ABCmP解:取水平梁AB为研究对象画受力图。l/2l/2ABCmPFAxFAyRBl/2l/2ABCmPFAxFAyRBFAx-Pcos=0FAx=PcosmA(Fi)=0sin21PlmRB0sin21lRlPmBFAy-Psin+RA=0sin21PlmFAyFx=0Fy=0列平衡方程求解:dxy0例题4-5平面刚架ABCD受力如图所示,q1=5kN/m,q2=10kN/m,m=20kN.m。求支座A的约束反力。12m8m5mABCDmq1q2FAxFAymA解:取平面刚架ABCD为研究对象画受力图Q1=q1×8=40Q2=0.5×q2×12=60Q1Q28m5mABCDmq1q24m4m9mABCDmQ1Q2FAxFAymAFx=0FAx+Q2=0FAx=-Q2=-60kNFy=0FAy-Q1=0FAy=Q1=40kNmA(Fi)=0mA-4×Q2-4×Q1-m=0mA=420kN.m列平衡方程求解:xy04--6.静定与静不定问题.物体系统的平衡(1)静定与静不定问题对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目.则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题.若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题.(2)物体系统的平衡物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统.解静定物体系统平衡问题的一般步骤:(a)分析系统由几个物体组成.(b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图.(c)列平衡方程并解出未知量ABCqfh2l2l例题4-6三铰刚架ABC的支承及荷载情况如图所示。已知均布荷载q=8kN/L=12m,h=6m,f=2m。求支座A和B的约束反力。无主次之分但支座在同一水平线上的物体系统的平衡。ABqfh2l2lCFByFBxFAyFAxAqfh2l2lCBmA(Fi)=0Fy=0FAy+FBy-Fq=002lFlFByqkNqlFFqBy482121FAy=48kNFq=qlFx=0FAx+FBx=0Fq解：1、取整体为研究对象，受力分析：xy0Aqfh2l2lCBBfh2lCFCyFCxFByFBxqFq14lmC(Fi)=00)(241fhFlFlFBxByqkNFBx18qllqFq21212、取BC部分为研究对象，受力分析：FByFqFBxFByAqfh2l2lCBFx=0FAx+FBx=0kNFAx183、再取整体为研究对象：ABqCxy0例题4-7.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P=30kN,Q=20kN,=35o.求支座A和C的约束反力.2m2m2m2mPQABC解:取整体为研究对象画受力图.Xi=0XA-20cos35o=0XA=13.13kNYi=0YA-30-20sin35o+RC=0(1)2m2m2m2mPQABCRCXAYAmAmA(Fi)=0mA-2×30-6×20sin35o+8RC=0(2)取BC杆为研究对象画受力图.2m2mQBCXBYBRCmB(Fi)=0-2×20sin35o+4RC=0RC=7.07kN(3)把(3)式分别代入(1)和(2)式得:YA=37.07kNmA=31.72kN.m§4-5平面平行力系的平衡方程:F1Fn