数理统计课件-方差分析

第四章方差分析第一节方差分析的基本问题第二节单因素方差分析第三节双因素方差分析如某种农作物的收获量受作物品种、肥料种类及数量等的影响；选择不同的品种、肥料种类及数量进行试验，日常生活中经常发现，影响一个事物的因素很多，希望找到影响最显著的因素看哪一个影响大？并需要知道起显著作用的因素在什么时候起最好的影响作用。方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。ANOVA由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数有无差异因素（因子）——可以控制的试验条件因素的水平——因素所处的状态或等级单（双）因素方差分析——讨论一个（两个）因素对试验结果有没有显著影响。例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影响。序号冲击强力浓度123456A116.215.115.814.817.115.0A216.817.517.115.918.417.7A319.020.118.918.220.519.7方差分析就是把总的试验数据的波动分成1、反映因素水平改变引起的波动。2、反映随机因素所引起的波动。然后加以比较进行统计判断，得出结论。第一节方差分析的基本问题一、方差分析的内容二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理一、方差分析的内容该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8（一）例题某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。一、方差分析的内容（二）几个基本概念1.因素或因子所要检验的对象称为因子要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或因子2.水平因素的具体表现称为水平A1、A2、A3、A4四种颜色就是因素的水平3.观察值在每个因素水平下得到的样本值每种颜色饮料的销售量就是观察值一、方差分析的内容4.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验5.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如A1、A2、A3、A4四种颜色可以看作是四个总体6.样本数据上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据（一）比较两类误差，以检验均值是否相等（二）比较的基础是方差比（三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的（四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理（一）两类误差1.随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差2.系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差三、方差分析的原理（二）两类方差1.组内方差因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差组内方差只包含随机误差2.组间方差因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差三、方差分析的原理（三）方差的比较如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1。如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1。当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异。三、方差分析的原理（四）基本假定1.每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布2.各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同3.观察值是独立的比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立三、方差分析的原理在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近1、四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分2、样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分三、方差分析的原理3、如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=m4•四种颜色饮料销售的均值都相等•没有系统误差这意味着每个样本都来自均值为m、差为2的同一正态总体Xf(X)m1m2m3m4三、方差分析的原理4、如果备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等•至少有一个总体的均值是不同的•有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体Xf(X)m3m1m2m4第二节单因素方差分析一、数据结构二、单因素方差分析的步骤三、单因素方差分析中的其它问题Xf(X)m1m2m3m4一、数据结构观察值(j)因素(A)i水平A1水平A2…水平Ak12::nx11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xn1xn2…xnk二、单因素方差分析的步骤（一）提出假设（二）构造检验统计量（三）统计决策二、单因素方差分析的步骤（一）提出假设1、一般提法H0:m1=m2=…=mk(因素有k个水平）H1:m1，m2，…，mk不全相等2、对前面的例子H0:m1=m2=m3=m4颜色对销售量没有影响H0:m1，m2，m3，m4不全相等颜色对销售量有影响二、单因素方差分析的步骤（二）构造检验统计量1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量2、构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和均方(MS)二、单因素方差分析的步骤①假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数②计算公式为),,2,1(1kinxxinjijii式中：ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值二、单因素方差分析的步骤③全部观察值的总和除以观察值的总个数④计算公式为kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：二、单因素方差分析的步骤实例四种颜色饮料的销售量及均值超市(j)水平A(i)无色(A1)粉色(A2)橘黄色(A3)绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值观察值个数x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值x=28.695二、单因素方差分析的步骤全部观察值与总平均值的离差平方和反映全部观察值的离散状况其计算公式为ijxxkinjijixxSST112前例的计算结果：SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295二、单因素方差分析的步骤计算SSE①每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和②反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和③该平方和反映的是随机误差的大小④计算公式为kinjiijixxSSE112前例的计算结果：SSE=39.084二、单因素方差分析的步骤计算SSA①各组平均值与总平均值的离差平方和②反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和③该平方和既包括随机误差，也包括系统误差④计算公式为kiiikinjixxnxxSSAi12112前例的计算结果：SSA=76.8455),,2,1(kixix二、单因素方差分析的步骤三个平方和的关系总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系kiiikinjiijkinjijxxnxxxxii12112112SST=SSE+SSA离差平方和的分解与显著检验记：injijiXnX11kinjijiXnX111kinjiXXijSST112)(将Q进行分解：kinjiiijiXXXXSST112)()(kinjiiijkinjkinjiiijiiiXXXXXXXX11111122))((2)()(由于kinjiiijiXXXX11))((0))(()()(111kiiiiiikinjiijiXnXnXXXXXXi故：kinjkinjiiijiiXXXXSST111122)()(SSASSEXXnXXkinjkiiiiiji11122)()(在假设H0成立的条件下，可以证明：)1(22nSST))(22knSSE)1(22kSSA相互独立理论证明).,1(~)()1(),1(~).(~22022knkFknSSEkSSAFkSSAHknSSESSESSA从而成立时，当且相互独立，与析中，定理：在单因素方差分相互独立；相互独立，于是相互独立；又全体样本与样本方差的样本均值证明：对每个总体kinjkkjknjjnjjinjiijiiiXXXXXXXXXnXXSXkiX121222212111122))(,(,,))(,(,))(,(1)(),,2,1(21独立。与相互独立，由此推出与相互独立，从而，个随机变量相互独立；因此于是SSESSASSEXXXXXXXXXXXXkXXXXXXXXXknjkkjnjjnjjknjkkjknjjnjjkk),,,,()(,,)(,))(,,,,(2))(,(,,))(,(,))(,(211212221211211212222121112121)())1((~)()()1(,,2,1),1(~)()1(212221121212122221222knnSSEXXXXSnkinXXSnkiikinjiijkinjiijkiiiinjiijiiiii且相互独立。于是由于))1((21ikiiSnSSE表明注意上面实际上我们已).,1(~).1(~,).1(~).1(~)1(11)(.,,2,1,,,2,1),,(~22222222112220knkFFkSSASSESSASSESSASSTnSSTnSnnSSTnXXSnjkiNXHkinjijiiji于是分布的可加性知必有及独立，与再由即满足本方差且相互独立。于是其样成立时，所有观测值再则，当m)()1(11(02002knSSEkSSAFkSSAknSSEHknSSEn