数理统计课件全集

对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性数理统计的分类描述统计学推断统计学第一节基本概念一、总体和个体二、样本简单随机样本一、总体和个体一个统计问题总有它明确的研究对象.…研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体(母体)，组成总体的每个元素称为个体.总体然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体称为总体,它是一个随机变量(或多维随机变量)，记为X.X的分布函数和数字特征称为总体分布函数和总体数字特征.总体：例如:研究某批灯泡的寿命时，总体X是这批灯泡的寿命，而其中每个灯泡的寿命就是个体。每个灯泡的寿命个体总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体又如:研究某批国产轿车每公里的耗油量时，总体X是这批轿车每公里的耗油量，而其中每辆轿车的耗油量就是个体。类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)来表示，而每个学生的身高和体重就是个体.为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.二、样本简单随机样本1）抽样和样本样本的抽取是随机的，每个个体是一个随机变量.容量为n的样本可以看作n维随机变量，用X1,X2,…,Xn表示.而一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称其为样本的一个观察值，简称样本值.2.X1,X2,…,Xn相互独立.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:1.样本X1,X2,…,Xn中每一个Xi与所考察的总体X有相同的分布.2）简单随机样本由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.设X1,X2,…,Xn是总体X的一个简单随机样本，1)若X为离散型总体，其分布律是p(x)，则X1,X2,…,Xn的联合分布律为p(x1)p(x2)…p(xn)2)若X为连续型总体，其概率密度是f(x)，则X1,X2,…,Xn的联合分布律为f(x1)f(x2)…f(xn)事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3）总体、样本、样本值的关系统计是从手中已有的资料—样本值，去推断总体的情况—总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁4）经验分布函数设X1,X2,…,Xn为取自总体X的样本，x1,x2,…,xn为其观察值.对于每个固定的x，设事件{X≤x}在n次观察中出现的次数为vn(x)，于是事件{X≤x}发生的频率为：()()nnvxFxxn显然Fn(x)为不减右连续函数，且()0,()1nnFF称Fn(x)为样本分布函数或经验分布函数.定理（格列文科）当n→∞时，经验分布函数Fn(x)依概率1关于x一致收敛与总体分布函数，即{limsup|()()|0}1nnxPFxFx定理表明：当样本容量n充分大时，经验分布函数Fn(x)几乎一定会充分趋近总体分布函数F(x),这是用样本来推断总体的理论依据.第二节统计量与抽样分布一、统计量二、统计学中三个常用分布和上α分位点三、抽样分布定理一、统计量由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）信息集中起来.定义中不含有任何的未知参数，则称函数g(X1，X2，…,Xn)如果样本X1，X2，…,Xn的函数g(X1，X2，…,Xn)为统计量.g(x1，x2，…,xn)为统计量g(X1，X2，…,Xn)的一个若x1，x2，…,xn是相应的样本值，则称函数值观察值.若,2已知,则,XnXnii11是统计量，而例如：是X的一个样本,nXXX,,,21则niiμXσ1221不是统计量.niiXXnS12211也是统计量.niiμXσ1221，)σ,μ(N~X22σ,μ是未知参数,几个常用的统计量样本均值样本方差niiXnX11nii)XX(nS12211它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩nikikXnA11nikikXXnB1)(1k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息它们的观察值分别为：niixnx11niixxns122)(11nikikxna11nikikxxnb1)(1由大数定律可知：nikikXnA11)(kXE依概率收敛于例1.从一批相同的电子元件中随机地抽出8个，测得使用寿命（单位：小时）分别为：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，试计算样本均值、样本方差及样本二阶矩.解：niixnx11（小时）25.2301niixxns122)(11）（小时27857.48126niixna1221）（小时25.5337862抽样分布统计量是样本的函数，而样本是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，它的分布称为“抽样分布”.二、统计学中三个常用分布和上α分位点下面介绍三个来自正态总体的抽样分布.)n(χ~χ222χ分布1、定义:设相互独立,都服从标准正态分布nX,,X,X21222212nXXXχN(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布，记为2χ2χ分布的概率密度为其它00)2(Γ21)(2122yeynyfynn在其中）（001sdtte)s(Γst)2(Γn是函数2ns处的值.n=1n=4n=10f(y)01357911131517x0.50.40.30.20.1有所改变.2分布的概率密度图形如下：2χ显然分布的概率密度图形随自由度的不同而性质1.),(~22nχχ设nχDnχE2)(,)(22则证明：设niiin,,,i),(N~XXχ1222110nX,,X,X21相互独立,则,)X(D,)X(Eii10niiXEχE122分布的性质：2χn）（niiXE1222)X(E)X(D)X(Eiii,13d21)(2244xexπXExi2)()()(2242iiiXEXEXDniiXDnχD122)(n2这个性质称为分布的可加性.2性质2.)(~2122221nnχχχ),(~1221nχχ设),(~2222nχχ且21χ与22χ相互独立，则t的概率密度为：2121221n)nt(πn)n(Γ])n[(Γ)t(h定义:设X～N(0,1),Y～nYXt所服从的分布为自由度为n的t分布.记为t～t(n).)(2nχ2、t分布，且X与Y相互独立，则称变量n=4n=10n=1xt(x;n)ot分布的概率密度函数关于t=0对称，且当n充分大时(n≥30)，其图形与标准正态分布的概率密度函数的图形非常接近.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.由定义可见，3、F分布则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，21nYnXF121nXnYF~F(n2,n1)),n(χ~Y),n(χ~X2212定义:设X与Y相互独立，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).0001)()()()()()(2222212112121212121xxxxΓΓΓxψnnnnnnnnnnnnn若X~F(n1,n2)，则X的概率密度为xo)n,n;x(f212n201n252n102n注意：统计的三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！！4、上α分位点αdxxfxXPαxα)(定义：设随机变量X的概率密度为f(x),对于任意给定的α(0α1),若存在实数xα,使得：则称点xα为该概率分布的上α分位点正态分布的上α分位点对标准正态分布变量Z～N(0,1)和给定的，上分位数是由：P{Z≥z}=2212tzdte即P{Zz}=1-(z)=1-确定点z.如图：例如，=0.05，而P{Z≥1.645}=0.05所以，z0.05=1.645.φ(x)xzαoα说明：1）除标准正态分布外，分布、t分布、F分布的上分位点都有表可查.2χ2）对于分布，当n充分大时（n45），2χ其中Zα是标准正态分布的上α分位点22)12(21nZχαα3）对于t分布a)由其对称性，有：)()(1ntntααb)当n充分大时（n45），ααZnt)(4）对于F分布，有：),(1),(12211nnFnnFαα例2.查表求下列值：，)5(01.0t，)6(95.0t，)9,10(1.0F，)2,28(9.0F，)(χ.2022503649.3)5(01.0t)6()6(05.095.0tt42.2)9,10(1.0F解：9432.1)28,2(1)2,28(1.09.0FF828.23)20(225.0χ，4.050.21.z.010332010.z.)3,0(2N例3.设总体X和Y相互独立，同服从分布，而X1，X2，…,X9和Y1，Y2，…,Y9292221921YYYXXXU的分布.分别是来自X和Y的简单随机样本，求统计量解：)9,0(~NXi)81,0(~91NXii)1,0(~991NXii)9,0(~NYi)1(~)3(22χYi)9(~992912912χYYiiii81/9/91291iiiiYXU)9(~t292221921YYYXXXX1，X2，…,X15是来自X的简单随机样本，求)2,0(2N例4.设总体X服从分布，而)XXX(XXXY21521221121022212的分布.统计量解：)2,0(~2NXi)1(~)2(22χXi)10(~44210121012χXXiiii)5(~4421511215112χXXiiii20402152122112102221/)XXX(/XXX）（)XXX(XXX21521221121022212Y)5,10(~F当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.三、抽样分布定理定理1设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本，则有),(~2nNX（1）样本均值（2）样本均值与样本方差相互独立。X2S（3）随机变量22)1σSn（）（）（1~2221nχσXXnii定理2设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有)1(~ntnSX定理3(两个总体样本均