数理金融学第三章 组合投资理论

数理金融学第三章资产组合理论2020/1/29数理金融学第三章2狭义的现代组合理论------马科维茨提出的资产组合理论（50年代，从单个投资者考虑问题，局部均衡分析）广义的现代组合理论------马科维茨提出的资产组合理论------马科维茨提出的有效组合决定模型的各种替代理论（60年代开始，其他求解资产有效组合的理论和方法，如指数化模型，简化的有效组合决策模型）和资本市场理论（从整体的资本市场的角度考虑问题，一般的均衡分析，包括：资本资产的价格理论（CAPM,APT），以及证券市场的效率理论(效率市场假设)）2020/1/29数理金融学第三章33.1资产组合的收益与风险一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气或为雨季或为旱季，概率各为0.5，两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。防晒品公司雨具公司雨季旱季0%20%20%0%2020/1/29数理金融学第三章4资产组合（Portfolio）的优点对冲（hedging），也称为套期保值。投资于补偿形式（收益负相关），使之相互抵消风险的作用。分散化（Diversification）：必要条件收益是不完全正相关，就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。2020/1/29数理金融学第三章5例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。涨，涨涨，跌涨跌，涨跌，跌跌涨跌AB组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。2020/1/29数理金融学第三章6组合的收益假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为1111nnpiiiiiiniiErEwrwErw（）＝（）其中2020/1/29数理金融学第三章7n222i11,1,1nnnpiiijijijijijijij＝组合的方差22112112211222111222()[()][()][...()()...()][(())(())...(())]pppnniiiiiinnnnnnnDrErErEwrEwrEwrwrwrwErwErwErEwrErwrErwrEr证明：将平方项展开得到2020/1/29数理金融学第三章8211122222111,22111,,1222[(())(())...(())](()){(())(())}(()),{(())(nnnnnniiiijiijjiijijnnniiijijiijijnijijijiiiiiiiiEwrErwrErwrErwErErwwErErrEr())jjijijrEr2020/1/29数理金融学第三章9根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立22222222222{[()()]}{[(())(())]}[(())][(())]2{[()][()]}21,2)xyxyxyxyxyxyxyxyxyExyExyExExyEyExExEyEyExExyEy由于相关系数1则＝（组合的风险变小2020/1/29数理金融学第三章10112211221222222111122222122222222112212121222221122121222222221122331212232313132ii2,,1()(),223222pxyppirwrwrxwrywr当时，令＋其中＋则得＝＝当时＝＋＝3332i11,1ijijijijww＋没有22020/1/29数理金融学第三章11331,1333112233,1,1,112121313212123233131323212121313232322211,1()()()222,ijijijijjjjjjjjijjijjijnnnpiiijijiijij＝＋同理，当时＝2211,1nnniiijijijiijij2020/1/29数理金融学第三章12总结对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为1npiiirwrTwr=n222Ti11,1,1wwnnnpiiijijijijijijij＝11112121...=(,,...,),=(,,...,),nTTnnnnnwr其中，2020/1/29数理金融学第三章13例题例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值的方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15prTwr22T20.25(0.20)0.01ww=(0.25,0.75)0.0244750.750.01(0.18)p2020/1/29数理金融学第三章1422T22222211wr(,...,)1...0111ww(,...,)(,...,)011Tpprrrnnrnnnnnn=＝例2：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。2020/1/29数理金融学第三章15组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。2020/1/29数理金融学第三章162.2组合投资理论概述现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志1962年，WillianSharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）1976年，StephenRoss提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitragepricingtheory，APT）。上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，EugeneFama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficientmarkethypothesis，EMH）2020/1/29数理金融学第三章172.3资产组合投资理论基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）投资者希望持有有效资产组合。2020/1/29数理金融学第三章182.3.1组合的可行集和有效集可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。2020/1/29数理金融学第三章19两种风险资产构成的组合的风险与收益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则两种资产构成的组合之期望收益和方差为11222222211221212222211221212121211112222211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprwrwr＋＝＝由于＋，则＋＝由此就构成了资产在给定条件下的可行集！2020/1/29数理金融学第三章20注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。2020/1/29数理金融学第三章21组合的风险－收益二维表示.收益rp风险σp2.3.2两种完全正相关资产的可行集2020/1/29数理金融学第三章22两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有p11112111121p111p221122()(1)()(1)10ppp＝＋当＝时，＝，当＝时，＝，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。2020/1/29数理金融学第三章231111212121112212121221212221212()(1)()/()()(1)(()/())(1()/())ppppppp则－从而－－故命题成立，证毕。命题2.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得2020/1/29数理金融学第三章24两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp风险σp11(,)r22(,)r2020/1/29数理金融学第三章252.3.3两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有2222p11112111211121111221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)p=－＋当时,当时，=当时，=2020/1/29数理金融学第三章26命题2.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：2112111121()(1)()pp当时，则可以得到，从而221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrr＋＋＋2020/1/29数理金融学第三章272112112111212221212,()(1)()pppp同理可证当时，则命题成立，证毕。2020/1/29数理金融学第三章28两种证券完全负相关的图示收益rp风险σp122212rrr22(,)r11(,)r2020/1/29数理金融学第三章292.3.4两种不完全相关的风险资产的组合的可行集1111222221111211