2-3 空间直线的方程

复习§2平面与点的相关位置1.平面与点的相关位置2.点到平面的距离§3两平面的相关位置1.两平面的相关位置2.两平面的交角(垂直)3.两平行平面的距离§4空间直线的方程00PvPvll在空间给定一点与一个非零向量,则通过点且与向量平行的直线就唯一确定.与直线平行的任意一个非零向量都称为直线的,简称为方向向量方向矢.4.1直线方程的各种形式1.直线的参数方程,,,vXYZoxyz0PPv0rrl下面我们来推导直线方程：已知直线l通过点P0(x0,y0,z0)，方向向量为●00rrtvrrtv或000,,,,,,xyzxyztXYZ用向量的坐标可以将上式表示成称为直线l的向量式参数方程，其中t为参数。称为直线l的坐标式参数方程.000xxXtyyYtzzZt即222,,0,lvXYZlXYZ直线的方向向量的坐标称为直线的方向数,且cos,cos,cos;lv直线的方向向量的方向角,,与方向余弦分别称为直线的方向角与方向余弦说明：(1)方向数常用X:Y:Z来表示直线的方向数；(2)方向角与方向余弦0000001,tPPvrrPPtvvvltPPtrrPP参数对应的点到定点的距离与方向矢的长度的比值,特别地当时正好等于直线上参数对应的点到定点的距离.(3)|t|的几何意义01,2,12210.lPxyzl已知直线通过点,且垂直于平面:,求直线的参数方程与方向余弦例1已知平面的法向量就是直线l的一个方向向量，它的单位向量的坐标就是直线l的方向余弦。00000000,,,,,,,,PxyzvXYZlPxyzlPPvxxyyzzXYZ对于由点与方向向量=确定的直线点在直线上的充要条件是,即称为直线的标准方程或称为对称式方程.直线的一组方向数2.直线的标准方程0000000X,Y,ZxxyyzzYZ,时，方程仍然写为00000000xxyyzzX,Y,ZZ又如时，,0000xxyyzzYZ，考其几何意义)(请思0000yyxx必须注意:当方向向量的某个坐标为零时，应该理解为它对应的分子也等于零。比如此时应理解为两特殊平面的交线！此时应理解为点向式方程以上的直线方程都由直线上一点与方向向量所确定，都称为点向式方程。000xxyyzzXYZ直线的标准方程0rrtvt直线的向量式参数方程,其中为参数；000xxXtyyYttzzZt，其中为参数；111212121xxyyzzxxyyzz例2.求通过两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)的直线l的方程。称为直线的两点式方程.由取P1P2为直线的方向向量得到。21101xyz例3.已知直线l通过点P0(2,-1,0)，l的方向数为－1:0:1，求直线l的标准方程.空间直线可以看作两平面的交线，因此空间直线的方程可以由通过它的两个平面的方程所组成的方程组来表示。xyzo12l3.直线的一般式方程111112222211112222111222:0:000::::AxByCzDAxByCzDlAxByCzDAxByCzDABCABC则直线的方程可表示成其中设通过直线l的两个相异平面为此方程称为空间直线l的一般式方程.1211112222121212,,,,,,0,,lnABCnABCnnlnlnlnn由于平面与相交成直线因此它们的法向量不共线,即,又因为,所以与共线两个相异平面的交线的方向向量11111112222222,,BCCAABvnnBCCAAB即上述直线方程所表示的直线l的一个方向向量为21010xyzxz:1212.1,1,12,3,4.PPPPzxOyl例5已知两点,求通过直线且平行于轴的平面与坐标面的交线的方程例4已知直线l0，求通过原点且与直线平行的直线的标准方程.12111221,,011110vnn1,3,11,2,30,1,1.平面的方位向量是和设平面π方程为Ax+By+D=0,代入两点解得系数111222333,,,,000lOzOxOyxOyyOzzOxaxbycaybzcaxbzc设通过直线分别平行或通过轴轴轴,也就是分别垂直于坐标面的三个平面的方程为4.直线的射影式方程直线l对坐标面的射影平面则上述平面分别称为直线l对坐标面xOy,yOz,zOx的射影平面.zyxl这里土红色的平面平行y轴，紫色的平面同时平行x轴,z轴1112220()0axbycaybzc不重合因为直线l的一般式方程可由通过l的任意两个平面的方程联立组成，因此直线l的方程也可由它的三个射影平面的方程中任取两个不同的方程联立组成，例如这种由直线的两射影平面的方程联立组成的直线方程称为直线的射影式方程.右图中l就是两个射影平面的交线。zyxl121102xyz直线的射影式方程是一般式方程的特殊形式，射影式方程的特点是方程中关于变数x,y,z缺少其中一个或两个变数.例6求标准方程如下的直线l对三个坐标面的射影平面的方程.zyxy－2=02x–z–3=01112xz230xzl直线l对两个坐标面xOy,yOz的射影平面都是y－2=0.小结点向式§1直线的方程1.直线的参数方程(向量式、坐标式)2.直线的标准方程(对称式)(两点式)3.直线的一般式方程4.直线的射影式方程(特殊的一般式)练习P881（1）（2），5（2）作业P881（3）（4）复习§1直线的方程1.参数式2.标准式3.一般式4.射影式0rrtvt向量式：（为参数）点向式中任意两个组成的方程组.000xxXtyyYttzzZt坐标式：（为参数）000xxyyzzXYZ1111222200AxByCzDAxByCzD111222333000axbycaybzcaxbzc000xxXtyyYtzzZt000xxyyzzXYZ4.2各式直线方程的互化1.参数式标准式t揪井消去t揪?令公比121.210xyz23,31.lxttyzt练习化直线的参数方程:为参数为标准方程例7化下述直线的标准方程为参数方程：000xxyyzzXYZ联点揪揪?揪?分拆立求向取1111222200AxByCzDAxByCzD2.标准式化一般式：2340.20xyzxyz13211.lxyz练习将直线的标准方程:化为一般式方程例7化下述直线的一般式方程为标准方程：11122200aybzcaxbzc2.一般式化射影式：例9下面是直线l的一般式方程，将其化为射影式：1111222200AxByCzDAxByCzD揪?消元2210(1)240(2)xyzxyz(1)(2)10(1)(2)23690zxy可以过渡转化，或酌情灵活直接互化。其它三对形式的之间的转化：350.210xyxz(1)(2)例10将下述直线的射影式方程化为标准方程与参数方程.55131322yxyzxzx3521xxyxzx540(1)60(2)xyzxyz例11将下述直线的一般式方程化为参数方程.解法一先化为标准方程后令公比t解法二取x为t，解关于x的方程组练习P885（1），2作业P883，4