0上课1.3.2函数极值与导数

1.3.2函数极值与导数知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf用“导数法”求单调区间的步骤:注意：函数定义域①求'()fx②令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间③求单调区间aoht'0haht问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象2()4.96.510httt单调递增单调递减0)(th0)(thaatat归纳：函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。()htta0)(ah0)(th0)(thyxaobyfx（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?,abyfx（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?yfx,ab（2）函数在点的导数值是多少?yfx,ab(图一)问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)yxaobyfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)极大值f(b)点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考1：极大值一定大于极小值吗？6x5x4x3x2x1xabxyo(2)如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfx答：yfx(1)如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？yfx'yfx1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。思考2：导数值为0的点一定是极值点吗？探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件下面分两种情况讨论:（1）当，即x＞2,或x＜-2时;（2）当，即-2＜x＜2时。例1：求函数的极值.31443fxxx31443fxxx'2422fxxxx'0fx'0,fx解:∵∴'0fx当x变化时，的变化情况如下表：',fxfxx'fxfx,22,22,28343∴当x=-2时,f(x)的极大值为28(2)3f423f令解得x=2,或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当x=2时,f(x)的极小值为22归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:解方程，当时：'0fx'00fx0x(1)如果在附近的左侧，右侧那么是极大值；0fx'0fx'0fx(2)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.'0fx0x0fx'0fx(最好通过列表法)练习：下列结论中正确的是（）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。C、如果在x0附近的左侧f‘(x)0,右侧f’(x)0,那么f(x0)是极大值。Ｄ、极大值一定大于极小值。B3fxx0xy巩固练习1：求函数的极值33fxxxx'fxfx,11,11,20011单调递增单调递减单调递减当时,有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf∴当时,有极小值，并且极小值为2.2.1x1xx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33fxxx'0fx'233fxx'2330fxx1x1.x'0fx11x1x1x',fxfx可以省略练习3：求函数的极值.1)1()(22xxf练习2：求函数的极值.54)(34xxxf22)3(fy极小值0)0(fy极小值例2：已知函数在处取得极值.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.322fxaxbxx2,1xxfxfxfxfx解：（1）∵在取得极值,∴即解得∴（2）∵，由得∴的单调增区间为由得的单调减区间为'2322fxaxbxfx2,1xx124203220abab11,32ab3211232fxxxx'22fxxx'0fx12xx或'0fx21x)1,2(,21,或0)1(,0)2(ff例3：设函数在和有处极值，且，求，，的值，并求出相应的极值.1)1(fcxbxaxxf23)(1x1xabc230,21cba例2：已知在处有极值0，且，求常数，的值.1)1(f2233)(abxaxxxf1xab9,2ba练习：已知函数在处取得极值-3-c，其中为常数.(1)试确定的值；(2)讨论函数的单调区间.)0(ln)(44xcbxxaxxf1xba，ba，)(xf3,12ba)1()10(，，增区间，减区间例4：设的导函数满足，其中常数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，求函数的极值.))1(,1(f1)(23bxaxxxf)('xfRba，)(xfyaf2)1('bf)2('xexfxg)()(')(xg0126yx3-)0()(15)3()(3gxgegxg极小值极大值，2011年重庆高考18题(理)例1：设，(1)令，讨论在内的单调性并求极值；(2)求证：当时，恒有.0a)(，a)0(ln2ln1)(2xxaxxxf)()('xxfxF1x1ln2ln2xaxx)(xFaFxF22ln22)2()()2()20(极小值，，增区间，减区间利用极值解决恒成立问题例2：设函数，且方程的两个根分别为1，4.若在内无极值点，求的取值范围.),()0(3)(23adcxbxxaxf)(xfa09)('xxf]91[，a函数无极值问题函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?OA.1B.2C.3D.4（2006年天津卷)函数的定义域为开区间)(xf导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfAf(x)0f(x)0f(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别课堂小结:一、方法:(1)确定函数的定义域(2)求导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的全部解(4)检查f'(x)在f'(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值