第3章 扭转

第三章扭转#扭转变形的特点#外力偶矩的计算#扭矩的计算#扭转剪应力的计算本单元主要内容工程中承受切应力的构件工程中承受切应力的构件传动轴工程中承受切应力的构件3-1扭转变形的特点ABA'B'jgMnMn力偶矩方向沿圆杆的轴线横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转动圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用x3-2外力偶矩的计算转速：n(转/分)输入功率：N(kW)m1分钟输入功：N600001000N60W1分钟m作功：'WWnm21n2mmWNmnN9550m单位3-3扭矩的计算、扭矩图1、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转轴扭转轴的内力称为扭矩2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mmmMnx0MX0mMnmMn3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手法则：4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向扭矩正负号：离开截面为正，指向截面为负外力偶矩正负号的规定和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负指向截面离开截面例3-1传动轴如图所示，转速n=500转/分钟，主动轮B输入功率NB=10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为NA=4KW，NC=6KW，试计算该轴的扭矩。ABC先计算外力偶矩Nm4.7650049550nN9550mAANm191500109550nN9550mBBNm6.11450069550nN9550mCC计算扭矩：AB段mAMn1设为正的xxMn10MX0mMA1nNm4.76mMA1nBC段Mn2设为正的Nm6.114M2nmcMn20MX4、扭矩图将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示477.5N·m955N·m计算外力偶矩mN637nN9550TmN5.477nN9550TTmN1592nN9550TDDBCBAA作扭矩图Tnmax=955N·mBCADTBTCTDTA637N·mTn例3-2已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。3-4薄壁圆筒的扭转1、薄壁圆筒扭转时的应力观察一个实验将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分两端施以大小相等方向相反一对力偶矩观察到：#圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变#纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度结果说明横截面上没有正应力采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩存在，说明横截面上分布有与截面平行的应力、即存在剪应力由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布包括横截面取出一个单元体各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元2、剪应力互等定理'两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成对存在，且数值相等、符号相反，这称为剪应力互等定理。由静力平衡条件的合力矩方程可以得到gG在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量g称为剪应变。3、剪切虎克定律g当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克定律。剪切弹性模量3-5扭转剪应力的计算、扭转强度条件1、扭转剪应力在横截面上的分布规律在圆周中取出一个楔形体放大后见图（b）#根据几何关系，有dxrdACCCjgdxdEGGGjgdxrdACCCjgdxdGGjg#根据应力应变关系，即剪切虎克定律再根据静力学关系TdAATdAdxdGdAAAj2TdAdxdGA2j是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩。dAIAp2令PGITdxdjlpdxGIT0jpGITljTdAdxdGA2jdAIAp2jppITGITGdxdG扭转角Mn•横截面上某点的剪应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于该点与圆心的连线•剪应力的大小与其和圆心的距离成正比ττ注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适用，但是，空心部分没有应力存在。jppITGITGdxdG2、扭转剪应力的计算圆截面上任意一点剪应力TpITρpI极惯性矩圆截面上最大剪应力R剪应力具有最大值RITpm定义：RIWpt称之为抗扭截面模量tmWTm3、抗扭截面模量实心圆截面163dWt4、扭转轴内最大剪应力对于等截面轴，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上tmaxmaxWT5、扭转强度条件tmaxmaxWT空心圆截面43116DWtDd6、强度条件的应用tmaxmaxWT（1）校核强度tmaxmaxWT（2）设计截面maxtTW（3）确定载荷tmaxWT举例例3-3已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直径d。BCADTBTCTDTA477.5N·m955N·m637N·mTn由强度条件设计轴直径：mm5.49][T16d3maxn选：d=50mmTnmax=955N·m][dT16WT3maxnpmaxnmax例3-4某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930N·m,传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，[]=70MPa.校核此轴的强度。（1）计算抗扭截面模量29)945.01(9.82.0)1(2.0945.04343DWDdTcm3（2）强度校核70MPa][66.7MPaPa107661029193066.WTTmax满足强度要求3-6扭转变形、扭转刚度条件pGITlj1、扭转变形——扭转角抗扭刚度为了描述扭转变形的剧烈程度，引入单位长度扭转角的概念pGITlj单位m/rad或m/2、扭转刚度条件pGIT以每米弧度为单位时以每米度为单位时180pGIT许用单位长度扭转角例3—45吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，[]=40MPa,G=80×103MPa,=1º/m。（1）计算扭矩kW85.127.32kkNN轮轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮，则5436.3285.195509550nNTTk轮轮N•m马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为（2）计算轴的直径cm07.4m0407.010402.0543][2.0][2.0][3633TdTdTWT由强度条件得选取轴的直径d=4.5cm。（3）校核轴的刚度m1][m945.014.3180045.01.0108054318049pGIT例3—5一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。(1)计算外力偶矩mN3513001195509550mN4683007.1495509550mN11703007.3695509550nNTTnNTnNTCDCBBAA(2)画扭矩图,求最大扭矩用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:mN3513514681170mN7024681170mN468321CBABABTTTTTTTTTmN702maxT(3)强度校核40MPa][MPa8.38Pa108.38045.02.070263maxmaxTWT满足强度条件.(4)刚度校核:][m2m23.114.3180045.01.0108070218049maxmaxpGIT故满足刚度条件