函数图像及其变换

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函数图像及其变换函数图像一次函数y=kx+b1.几种函数的图像函数图像二次函数y=ax2+bx+c函数图像指数函数y=ax函数图像对数函数y=logax基本初等函数及图象(大致图像)函数图像一次函数y=kx+b二次函数y=ax2+bx+c指数函数y=ax对数函数y=logaxy=f(x+h)y=f(mx+h)②上下平移:y=――→k>0时,上移k个单位k<0时,下移|k|个单位f(x)y=_______.f(x)+k(2)伸缩变换①y=Af(x)(A0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标而得到;②y=f(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标而得到.A不变不变(3)对称变换①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于______对称;②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于_____对称;③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于_____对称;x轴y轴原点(4)翻折变换①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到_________的图象;②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得__________的图象.y=|f(x)|y=f(|x|)1.f(x)=|x-1|的图象为如下图所示中的()B2.为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点()A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度A3.函数f(x)=ax-b的图象如右图所示,其中a、b为常数,则下列结论正确的是()A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0【解析】因图象是递减的,故0a1.又图象是将y=ax的图象向左平移了,故b0D4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图像如图所示,则不等式f(x)0的解集是________.【解析】由奇函数的图象关于原点对称,画出x∈[-5,0]的图象,可知不等式f(x)0的解集是(-2,0)∪(2,5].【答案】(-2,0)∪(2,5]作出下列函数的图像..)21()3(;112)2(|);lg|(lg21)1(||xyxxyxxy(1)若函数解析式中含绝对值,可先通过讨论去绝对值,再分段作图.(2)利用图象变换作图.探究提高1.作函数图象的一般步骤为:(1)确定函数的定义域.(2)化简函数解析式.(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等).(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象.2.采用图象变换法时,变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点,以显示图象的主要特征,处理这类问题的关键是找出基本函数,将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链,然后依次进行单一变换,最终得到所要的函数图象.作出下列函数的大致图像:(1)y=x3|x|;(2)y=x+2x-1;(3)y=|log2x-1|;(4)y=2|x-1|.【解析】(1)y=x2(x>0)-x2(x<0),利用二次函数的图象作出其图象,如图①.(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上及x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图③.(4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y轴左边的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=2|x|的图象,再将y=2|x|的图象向右平移一个单位,即得y=2|x-1|的图象,如图④.由图象求解析式如图所示,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数解析式.【思路点拨】分段求函数解析式,再合成分段函数形式,本题分别设为一次函数和二次函数形式,应抓住特殊点(0,2),(1,1),(2,2),(3,1)和(4,2).答案:所求函数解析式为y=-x+2(x<1),-x2+4x-2(1≤x≤3),x-2(x>3).由函数图象求其解析式,要注意观察各段函数所属的基本函数模型,常用待定系数法,抓住特殊点,从而确定系数.综合练习(1)设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()CB(3)如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()B(4)f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点,则a=.解析y1=|4x-x2|,y2=a,则两函数图象恰有三个不同的交点.如图所示,当a=4时满足条件.4函数的图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正确的重要工具,也是运用数形结合思想解题的前提.从图象的左右分布,分析函数的定义域;从图象的上下分布,分析函数的值域;从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.2.掌握函数作图的两种基本方法:(1)描点法;(2)图象变换法:包括平移变换、对称变换、伸缩变换.3.合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况.

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