函数奇偶性课件公开课王凡

书山有路勤为径，学海无崖苦作舟成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话乐学、多思、探索、求新！奎屯市第七中学王凡请你欣赏xy0xyoxyo2)(xxfxxf)(问题:观察下列两个函数图象并思考：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如何?x-3-2-101232)(xxfx-3-2-10123xxf)(94101493210123结论：1这两个函数图象都关于y轴对称.2从函数值对应表可以看到:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上.能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？函数f(x)=x2-xx当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)偶函数的图象关于y轴对称.函数f(x)=x2的图像偶函数的图像特征偶函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=f(x)②图像特征:关于y轴对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.1.偶函数的概念概念形成观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点?yxO)0(1)(xxxfx0-x0fx=x3x-3-2-101233)(xxfx-3-2-112327278xxf1)(81011121312131函数f(x)=x3-xx(X,f(x))(-X,-f(x))当x1=1,x2=-1时，f(-1)=-f(1)对任意x，f(-x)=-f(x)奇函数的图像特征函数f(x)=x3的图像O奇函数的图象关于原点对称.奇函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)②图像特征:关于原点对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇函数的概念概念形成下列函数是偶函数吗?xy12()(,1]fxxxxy12()1fxxx（）xy1-12()(,1][1,)fxxx。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。[a,b][-b,-a]xo对于奇、偶函数定义重点说明:（1）图像法（2）定义法例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.112)(2xxfyxyxxxf)(yx-12]2,1[,)(2xxxfyx-11]1,1[,)(3xxxf偶奇非奇非偶奇图象法例2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)∴f(x)为奇函数．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数．函数定义域为R．解:函数定义域为R．=f(x)定义法练习:判断下列函数的奇偶性∴f(x)为奇函数.解:定义域为{x|x≠0},即f(-x)=-f(x),1()()()1,fxxxxx1(1)()fxxx(2)f(x)=5解:f(x)的定义域为R.∵f(-x)=f(x)=5yox5∴f(x)为偶函数.(4)f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R．∵f(-x)=f(x)=0，又f(-x)=-f(x)=0，∴f(x)为既奇又偶函数．(3)f(x)=0(xR)根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解:函数定义域为R．∵f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠–f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.yox用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或既是奇函数又是偶函数。给出函数判断定义域是否对称结论是f(-x)与f(x)否检测题:一、填空：1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有那么函数f(x)就叫做偶函数.2、奇函数的图象关于对称。二、判断：1、偶函数的图形不一定关于y轴对称。（）2、y=x是奇函数。（）三、判断下列函数的奇偶性2(1)()1fxx(2)()2,(1,5)fxxx(1,5)x1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，①若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。2图象性质:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3判断奇偶性方法：图象法，定义法。4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提必做题:课本P36练习1,2课时作业本第112页做完.作业2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.奇偶函数图象的性质可用于：①判断函数的奇偶性.②简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.(6)f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R．∵f(-x)=f(x)=0，又f(-x)=-f(x)=0，∴f(x)为既奇又偶函数．(5)f(x)=0(xR)根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解:函数定义域为R．∵f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠–f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.判定函数的奇偶性的步骤：(1)先求函数的定义域；①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;(2)计算f(－x)化向f(x)的解析式；①若等于f(x),则函数是偶函数,②若等于－f(x),则函数是奇函数,③若不等于,则函数是非奇非偶函数(3)结论.()fx有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.(4)f(x)=|x+1|-|x-1|22(3)()11fxxx∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.解:函数的定义域为{-1,1},(1)(1)(1)0.fff1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数.一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论.例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.xyo解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=－f(x).∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,∴当x＜0时,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,222,0,()2,0.xxxfxxxx故即-f(x)=(x2+2x),∴f(x)=-x2-2x.偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=-f(x)那么f(x)就叫奇函数。思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?判断函数奇偶性步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)确定f(x)与f(-x)的关系;(3)作出结论.若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。思考：思考2：完成课本页的练习小结：●奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内）①若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。●定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。●性质:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.●判断奇偶性方法：图象法，定义法。yx-11-11-xxxy1).1()1(1,121ff，xx时当)()(,xfxfx都有对任意引例1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3f(-x)=-f(x)思考:通过练习,你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)注意：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．例2.判断下列函数的奇偶性:;1)(22xxxf解:(1)对于函数，其定义域为，因为对定义域内的每一个x,都有所以函数为奇函数。;)(3xxf（1）（2）先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系.3)(xxf),(),()()(33xfxxxf3)(xxf(3);22)(xxxf0)(xf（5）（4）])1,3[(x2)(xxf定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。]1,3[x由于定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数。解：（4）（5）)()()()(,0)()(xfxfxfxfxfxf且,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。例3.判断下列函数的奇偶性001(1)1;(2)1;(3)(1)1;(4)2.yxxyxyxy定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.Y=x2-xx当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)注:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上(x,f(x))(-x,f(x))返回例如：对于函数f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx概念形成注:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相反,即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上(X,f(x))(-X,-f(x))返回例2.判断下列函数的奇偶性：452(1)()(2)()11(3)()(4)()fxxfxxfxxfxxx3,{|0}xx1解：()对于函数f