光波的形式和基本性质

第二章光波的形式和基本性质波动方程的达朗贝尔解f(t-z/v)形式任意。本章给出f的具体形式和基本性质2.1平面波•波动方程化简为ˆ(,)xxEztE•平面波是最基本的波动形式•最简单形式的平面波–Ey=Ez=0，沿z轴传播22220xxEEzt波动方程的时谐平面波解0(,)cos()ˆˆ,xEztEkztztxxE将上式带回波动方程，得色散关系22k22,22fTku时间空间中频率、角频率、周期间的关系k又称为空间角频率或波数沿任意方向传播的平面波Pkyxzrz'传播方向由波矢量k=k(cos,cos,cos)决定空间任意点P的位置由r=(x,y,z)决定一般时谐平面波的实数表达0cos(')',kztztEE=cos()cos(),tttEkrr=AAA为振幅矢量，kr为空间相位，t为时间相位时谐平面波的复数表达•实数形式改写为exp(),expjtttrjEkrr=AEexprjEAkr•复振幅磁场的时谐平面波cos(),'ttBkrr=Aexp(),'expjtttrjBkrr=AB•复振幅exprjBA'kr•实数形式•复数形式电场和磁场与物质的相互作用•电场与物质相互作用的重要性高于磁场•常把电场强度矢量E称为光场矢量平面波复振幅在z=0平面上的相位分布exp(cos)exp(sin)jkxjkx＝ErAAyzxxk0246-2-4-60264-2-4-6a)b)平面上的复振幅与平面波的关系z=0平面上的复振幅相位是的函数exp(cos)exp()jkxjx＝ErAA•是平面波的传播方向•所以，z=0平面上的复振幅可以描述通过这个平面的平面波•推而广之，给定任意平面，其上的复振幅可以描述通过这个平面的平面波光波的共轭•共轭操作–原始波–共轭波,exptjtErEr†,exptjt*ErEr•共轭操作的特点–只对复振幅求共轭，不对时间分量求共轭共轭光波的含义•无参考面的共轭–给定一个光波E，与E传播方向相反的光波就是的E共轭波，简记为E*•有参考面的共轭–给定光波E，E在参考平面上留下的复振幅可以代表E，也可以描述E*平面波的共轭波•原始平面波的复振幅•原始完整光矢量•共轭平面波复振幅•共轭完整光矢量exptjtEEr,=rexp(sin)=jkxErA*exp(sin)=jkxErA†exptjt*EEr,=r•为方便计，常用E*(r,t)代替E+(r,t)E1E2-zx180+E*1E*2•E1的共轭波是E*1；E2的共轭波是E*2•E1与E2在x-y平面上产生相同的复振幅•因此，从x-y平面的复振幅看，E1的共轭波是E*1或E*2平面波的性质•横波性（E、B与k垂直）•电、磁垂直性（EB）•电、磁同相位•条件：J=0、=0的无源线性介质中横波性•由于无源，电矢量的散度为零exp()exp()exp()00jjjjjjkrkrkrkrkrkErAAAEE=0kE•电矢量振动方向垂直于平面波传播方向•同理，磁矢量振动方向垂直于平面波传播方向E和B互相垂直•将电矢量复振幅带入旋度方程exp()exp()exp()jjjjjEkrkrkrkEAAABkEB•说明电矢量与磁矢量垂直E和B同相位•由E和B关系知0/BkEkE•如图所示的情况下1yxxyEHBEvBE•E和B之间由实数联系，故同相位zEBxyk坡印廷矢量和光强•垂直于传播方向，单位面积通过的功率为22222,1SwvvEHvSwSvEvHHEd•能量密度为w的平面波在dt时间内通过d的能量为wvddtvdt太大，S的平均值S更有意义•S的时间平均值2201TSvEvEdtT•将E的实数形式带入上式，得222201cos22TvASkztdtvAAT从平均坡印廷矢量Sa看光能量•平均坡印廷矢量Sa*011Re2atdtTTSSr,ErHr•将下列电磁分量带入上式*ˆˆexp,expxAjkzyAjkzErHr•得到沿z传播的平面波的Sa21ˆ2aAzSSa、S和光强I•光强正比于平面波振幅A的平方，与介质有关•若讨论无限大均匀介质中的光强，可简写为212aISAS•定义光强I为2*,,IAttrr*ErErEE例2.1•介电常数为、磁导率为的各向同性线性介质中没有自由电荷和电流，光波在此无源介质中传播，若E和H均不随x、y坐标变化，只随z、t变化，求此光波的波动方程。•思考：–不随x、y坐标变化意味着什么？–该光波的等振幅面如何？–等相位面如何？解例2.1•考察无源介质中麦克斯韦方程组的旋度方程ttttEBHHDE•运用旋度公式展开以上两式，例如ˆˆˆˆˆˆzyxzyxxyzEyEzxEzExyExEyzHxHyHztE•按题意，将0xy•带入展开式，得ˆˆˆˆˆˆˆˆ0000yyxxyyxxzzzzEHEHxyxyzzttHEHExyxyzzttHHtEEt•组合各分量，得,,yyxxyyxxHEEHztztHEEHztzt•上边一式对z求导带入下边一式，得22222222,yyxxEEEEztzt•下边一式对z求导带入上边一式，得22222222,yyxxHHHHztzt例2.2•一均匀平面波在空气中沿z方向传播，其电场强度为4140ˆˆ510cos2104xxExkztVmE•求：–（1）H的表达式–（2）k0值解例2.2•利用E、H、k的矢量关系确定H000041406140ˆˆ510ˆcos2104377ˆ1.3310cos2104xkyEykztykztAmHE•利用色散关系确定k01414602210,10,322310ffHzcfmkradm2.2球面波和柱面波•点光源S产生球面波•当考察点离S足够远（r足够大）时，球面波近似为平面波•为简化分析，假设球面波是标量波波面Sr光线标量时谐球面波的表达•实数形式coscosrrEAtAkrtkr•复数形式expexpexpexpexprrrEAjtAjkrtAjkrjtErjtkrexprErAjkr•式中是复振幅球面波振幅Ar的确定•与平面波不同，随r的增加，Ar将下降•设r=1单位时，Ar=A1。r为其他值时，Ar=I1/2•按能量守恒要求–I1412=I4r2–I/I1=1/r2，即Ar＝A1/r•球面波复数形式为1expexp,AEEjtEjkrr•线光源L产生柱面波•当考察点离L足够远（r足够大）时，柱面波近似为平面波•为简化分析，假设柱面波是标量波•柱面波复数表达r波面光线L1expexp,AEEjtEjkrr柱面波球面波的共轭•与平面波类似，共轭球面波是原始球面波的复振幅共轭，时间分量形式不变•无参考面时，共轭波是与原球面波传播方向相反的球面波•有参考面时，参考面上的复振幅可表示原始球面波及其共轭波•参考面上的复振幅分布与球面波也不是一一对应的共轭球面波举例•S1发出的E1与E1*共轭，S2发出的E2与E2*共轭•E1和E2在平面上产生同样的复振幅分布•从上的复振幅看，E1与E1*或E2*共轭OS1S2xzE1E2E1*E2*2.3折射率•电磁波在真空中的速度c与在介质中的速度v之比称为该介质的绝对折射率n（通常简称折射率）00/rrncv•大多数物质的r1rn入射光频率对折射率的影响•媒质中的电偶极矩和磁偶极矩随入射光的电场和磁场变化•低频时，变化同步•高频时，变化滞后•外场频率接近偶极子固有频率时，偶极子谐振•后果：折射率是频率的非线性函数，且可能为复数，虚部意味着媒质对光的吸收洛伦兹模型•电介质对光的响应是电偶极子在时谐电场作用下产生的极化•单个偶极矩为p＝ql•设单位体积中有N个偶极子，时间域极化强度•P(t)=Nql(t)•频率域极化强度•P()=Nql()单个偶极子的运动方程式中，为阻尼系数2222odldlqlEdtdtm•设偶极子固有频率为0，在频率为的外场E作用下，电量为q、质量为m的电子偏离平衡位置的矢量l按以下规律运动时谐场的单个偶极子运动方程•代入运动方程，得0explljt222oqljllEm•运动方程的解为2212oqlEmjN个偶极子•N个偶极子的效应需用极化强度描述22212oPNqlNqEmj•电极化率为e()=P()/[E()o]，故2'''2212eeeooNqjmj复折射率的产生•由于e是复数，且r＝1+e，所以介电系数一般也是复数，可写成012rj•又因为n=(r)1/2，所以折射率一般也是复数，可写成nnj复折射率的形式22220012Nqnmj•折射率的实部•折射率的虚部•一般形式22121022212102n光的吸收•当介质的折射率为复数时，介质内沿z轴方向传播的平面波可以写成expexpexpnjztcnzjztccEAA•平面波的光强为2*0exp2expIzcIzEEA吸收随频率（波长）的变化•介质的吸收系数2c•物质对光的吸收具有波长选择性。绝大多数物质呈现的颜色，都是物质对可见光进行选择性吸收的结果。光学材料透明波段（nm）光学材料透明波段（nm）冕牌玻璃3502000萤石（CaF2）1259500火石玻璃3802500岩盐（NaCl）17514500石英（SiO2）1804000氯化钾（KCl）18023000光的色散•色散介质折射率随频率的变化•上式说明，一般介质是色散的•色散类型–正常色散：在透明区，折射率随波长增加而减小–反常色散：在吸收区，折射率随波长增加而增加22220012Nqnmj柯西公式反映正常色散的经验公式•A、B、C是介质决定的常数24nABC洛伦兹模型对色散、吸收的解释•分别绘出实部、虚部与频率的关系曲线222022222002222200212NqnmNqnm•由下面两式解出复折射率的实部和虚部折射率的实部n和虚部与频率的关系折射率-频率曲线的说明•当远离固有频率0时，折射率的实部n随频率的增加而增加，且折射率的虚部很小，因此吸收很小，