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高中数学与染色有关的计数问题一、对区域染色问题——合并单元格法1、（2003·全国）如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）．解：本题中可合并成一个单元格，分类如下：着四色：1424CA；着三色：34A；共有72种．2、（2003·天津）将3种作物种植在如图2的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）．解：（种植问题可看成着色问题）可合并成一个单元格，共有7种不同搭配，∴共有3377642A．3、如图3，一个正六边形的6个区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法？解：按相间区域A、C、E染色情况分类如下：（1）染同一色：4×3×3×3=108种；（2）染两种不同颜色：2234322432CA种；（3）染三种不同颜色：34222192A种，共有108+432+192=732种．练习：如图4，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多是（）A、40320种B、5040种C、20160种D、2520种解：1676125202CA，选D，区别：图3中的各区域均有编号，视为不同的区域，而图4中的6个空白区域视为相同的元素．4、（2003·江苏）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图5），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的花，不同的栽种方法有种（以数字作答）．解：颜色相同的部分可能有，不可能出现三部分同色，不同的搭配情形有5种，∴共有445120A种．另解：等价转化：分步：先涂1区，有4种涂法，再用剩余3种颜色涂右图2中的其它5个区域，此时需分两类情况：（1）6，3涂同一色：再涂2区，最后涂4，5区，共有223212A种；图1图2图32,43,51,31,41,52,42,53,51,3,56,36,45,25,34,21455623图1554326图2（2）6，3涂不同色：再涂2区，最后涂4，5区，共有2312118A种；由分步计数原理：共有4×（12+18）=120种．5、用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法．解：涂2色：2520A；涂3色：1325120CA；涂4色：45120A，∴共有20120120260种．二、对点染色问题6、（2005·江苏）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）（A）96（B）48（C）24（D）0解：如图：4个仓库放8种产品安全存放有“18，25，36，47”，“17，28，46，35”两种可能，∴共有44248A种．7、将一个四棱锥S—ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解：涂3色：3560A；涂4色：1425240CA；涂5色：55120A，∴共有60240120420种．（与第5题解法类似）三、对线段染色问题8、用六种颜色给正四面体A—BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法．解：依题意：正四面体的对棱可染同一色或不同色．涂3色：36A；涂4色：2436CA；涂5色：1536CA；涂6色：66A，∴共有4080种．四、对面染色问题9、从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）．（1996年全国高中数学联赛）解：根据共用了多少种不同的颜色分类如下：（1）共用6种颜色：确定某色（如红色）所染面为下底，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余三个面有3！种染色方案，由乘法原理n1=5×3!=30；（2）共用5种颜色：选定5种颜色：56C，必有两相对面为同色，确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换），∴n2=56C×5×3=90；（3）共用4种颜色：仿上分析可得，4236490nCC；（4）共用3种颜色：34620nC；∴共有30909020230n种．①②③④⑤⑥⑦⑧