第四章 弹性微可压缩液体的不稳定渗流

4-1弹性不稳定渗流的物理过程无外部能量补充或补充不及时的油藏，随开发的进行地层压力会逐渐下降，原来处于压缩状态的岩石及流体就要发生膨胀：（1）流体体积膨胀；（2）岩石骨架变形孔隙体积减小。则流体在弹性能的作用下从地层中排出。在油田开发初期，地层压力高于饱和压力，主要依靠岩石与原油的弹性能量开采，称这种方式为“弹性驱动方式”。弹性驱动时，因地层内压力随时间而变，因此为不稳定渗流方式。压力降从井底开始逐渐向外传播。第四章弹性不稳定渗流理论一.水压弹性驱动条件：储集层外有广大的含水区，能充分地向地层补给弹性能量，认为补给边缘上的压力保持不变。1.油井以定产量生产时，地层压力的传播PeBQt1t2tBt第四章弹性不稳定渗流理论(1)压力波传播第一阶段（ttb）a.压力不断下降，压降区域不断扩大b.井产量来自压降区域内的弹性膨胀(2)压力波传播第二阶段(压力波传到边界后（ttb））特点a.压力下降速度减慢，最后趋于稳定b.压力稳定前，井产量一部分来自压降区域的弹性膨胀，另一部分来自边水。c.稳定后，井底流量与边水浸入量相等。第四章弹性不稳定渗流理论PeBQt1t2tBt2.井底压力保持不变(1)压力波传播第一阶段a.除井点外，压降漏斗不断扩大加深；b.井产量来自压降区域内的弹性膨胀，并随阻力不断增大而降低。PeBQt1t2t第四章弹性不稳定渗流理论(2)压力波传播第二阶段a.压力下降速度减慢，最后趋于稳定；b.压力稳定前，井产量一部分来自压降区域的弹性膨胀，另一部分来自供给区域；c.稳定后，产量与供给区浸入液量相等。二.封闭弹性驱条件：储层外边无能量补充，为一不渗透的封闭边界。1.井以定产量生产时的压力波传播第四章弹性不稳定渗流理论BQt1t2tBt(1)压力波传播第一阶段(2)压力波传播第二阶段a.压力不断下降，且初始边界下降幅度最小；b.压力下降到一定时间，各点的压降速度趋于一致，称“拟稳定状态”。拟稳定状态：封闭油藏弹性渗流过程中，井以定产量生产时，压力波传到边界后经过一定时间，地层内各点的压降速度相等时的阶段。2.井底压力保持不变(1)压力波传播第一阶段(2)压力波传播第二阶段特点：压力、产量不断下降，直至最后压力为井底流压，产量为零。tBQ1t2t第四章弹性不稳定渗流理论4-2无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解弹性不稳定渗流的数学模型为：1æ1222222tPzPyPxP式中æ=K/μc称导压系数。当K为μm2,μ为mPa.s,c为1/10-1MPa时，æ为cm2/s,表示单位时间内压降传播的面积。第四章弹性不稳定渗流理论取极坐标，则〈2〉式为：3æ1r122tPrPrP设有均匀、等厚、水平无限大地层中心一口井进行弹性不稳定渗流，则流动为平面二维流动，数学模型为：2æ12222tPyPxP第四章弹性不稳定渗流理论井以恒定产量Q生产时，有相应的初始边界条件为：t=0,p=po(0≤r≤∞)40t)(constrPrkh2Qrrw第四章弹性不稳定渗流理论下面用Boitzmann变换求解上数学模型，设5tæ42ruu对r和t分别求偏导：6tæ2rru7tæ422rtu第四章弹性不稳定渗流理论3式改写为：8æ1)(r1tPrPrr8式对中间变量u进行微分：9æ1)(r1tududPrurududPrdud将6.7式代入：10)tæ2()tæ2(tæ2r122dudPrdudPrdudr第四章弹性不稳定渗流理论3æ1r122tPrPrPtæ2rrutæ422rtu化简为：11dudPu)dudPu(dud或12dudPu)dudP(dudududPdudPP'又设：则12式为：u130'''uPdudPP第四章弹性不稳定渗流理论分离变量:14)1(''duuuPdP得151'CuuLnPLn式中C1为积分常数,则:1622'1ueCeCPuuLnuC2为常数,即:172ueCdudPu第四章弹性不稳定渗流理论又有达西公式:2utæ222dudPrdudPrududPrrPrKhQ则1814dudPuKhQ由1718式:19eC4:ueC14u-2-u2KhQuKhQ即第四章弹性不稳定渗流理论tæ2rrutæ42ru172ueCdudPu204dudPueKhQut=0时,u=∞,P(r,0)=Pot=t时,u=u,P=P(r,t)又对20式分离变量积分:214t)P(r,-Po4),(uuuutrpPoduueKhQduueKhQdP第四章弹性不稳定渗流理论r=Rw时,u0代入上式得khQC42tæ42rueC4u-2KhQ22)()æ4(2uEtrEduueduueiiuuuu称为幂积分函数并令式中从而求得地层中任意点(距井r处),在任意t时刻的压力表达式:23)]4([4),(2tærEKhQtrPPoi第四章弹性不稳定渗流理论（1）当u增加(r增加或t减小时)，-Ei(-u)减小，P(r,t)增加，即距井越远处、时间越早时压力越高。（2）一定的u值对应一定的r2/t，说明在一定时刻只在一定范围内形成压降漏斗，令-Ei(-u)=0可求得不同时刻压力传播前缘位置。（3）可用来解不稳定渗流第一阶段问题。幂积分函数)tæ4()(2rEuEii的变化趋势如图。u第四章弹性不稳定渗流理论)]æ4([4),(2trEKhQtrPPoi（4）对注水井：t=t0时刻投产：井点（x0,y0）：第四章弹性不稳定渗流理论tærEKhQtrPPoi)]4([4),(2)tt(ærEKhQtrPPo0i)]4([4),(2tæyyxxEKhQtrPPo00i)]4)()(([4),(222222æ.2525772.0æ4)æ4(0.25%tr,01.0æ4rtLnrtLntrEtri近似值误差不超过取前两项，其精确值与较大时，可近似很小或即时当25æ2.25Ln4),(2301.0æ422rtKhQtrPPotr式简化为：时，即第四章弹性不稳定渗流理论（5）u0.01时：－Ei(-u)可查数学手册幂积分函数表（附表）。又已知幂积分函数可展开为无穷级数：22222i)tæ4r(41tæ4r5772.0rtæ4Ln)tæ4r(E（6）对于井底r=Rw,则一般01.0tæ42Rw几秒钟即满足近似条件，则井底压力随时间的变化规律为：26æ2.25Ln4)(2wRtKhQtPwPo第四章弹性不稳定渗流理论例：在一较大的新油田上，有一完善井，地下恒定流量为100m3/d投入生产，Rw=10cm,μo=2mPa·S,h=10m,K=0.5μm2,æ=10000cm2/s,预测t=0.1天时井底压降情况。解：t=0.1天时，01.01.086400104100tæ442Rw可用近似公式计算，则1001025.286400105.04210100æ25.244362tLnrtLnKhQPw第四章弹性不稳定渗流理论T(天)00.250.5123455.255.5067ΔPw(10-1MPa)05.675.936.186.446.596.696.776.796.816.846.904-3弹性不稳定渗流的迭加与映射迭加原理可以处理多井生产时，渗流场中压力的变化；镜像反映法可以处理边界对渗流场影响。一、迭加原理弹性渗流时，多井工作时形成的总压降等于各井单独工作时在该点该时刻形成的总压降之和，即压降的迭加原理。第四章弹性不稳定渗流理论设油田有n口井，其流量分别为Q1,Q2,Q3,…..Qn,则每口井的压降计算公式为：1)])(æ4([4),(2jjijjojttrEKhQtrPPP式中：Qj——第j口井单井产量；ΔPj——第j口井在r处t时刻产生的压降；rj——任意点到j井的距离；tj——第j口井开始生产的时间；t——任意生产时刻。第四章弹性不稳定渗流理论2)])(æ4([4),(211jjinjjnjjottrEKhQPtrPPP由迭加原理，n口井产生的总压降为：例:某油田一探井以20t/d投产，生产15天后距该井1000m处，有一新井以40t/d投入生产。求第一口井生产30天后井底压力降为多少？已知K=0.25μm2,Rw=10cm,μo=9mPa·s,h=12m,ρo=0.85,c=1.8×10-5/10-1MPa,Bo=1.12。第四章弹性不稳定渗流理论解：)s/cm(610Q)s/cm(305864001012.185.0208640010BMQ/s)(cm1543108.1925.0cKæ32366oo112501.086400301543410æ4212tRw因则第一口井可用近似公式计算压降ΔP101.086400)1530(15434)10(æ425222tr因则第二口井不能用近似公式计算压降ΔP2第四章弹性不稳定渗流理论由迭加原理：MPa)1013.6(147.0120025.04961013.34)]864001515434)10(([120025.0496101086400301543.252120025.049305)]æ4([4æ.25241252222221121iiwELntrEKhQRtLnKhQPPP第四章弹性不稳定渗流理论31-3536：（不考虑油水差别）作业第四章弹性不稳定渗流理论二、镜像反映理论当源、汇靠近供给边界、不渗透边界时，应该按镜像反映法取消边界。与稳定渗流中的镜像反映法一样，供给边缘附近的井作异号反映，不渗透边界的井作同号反映，同时应注意边界一起反应。第四章弹性不稳定渗流理论三、变产量生产井问题如图,产量共有n个变化过程,可把流量变化过程看作是n个流动过程的迭加:第一流动过程t1时刻,其流量为Q1-Q0=Q1,第二流动过程始于t2时刻，其流量为Q2-Q1；第n个流动过程始于tn时刻,其流量为Qn-Qn-1，各流动分别在t时刻产生一压降ΔPj。Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3tntt第四章弹性不稳定渗流理论则t时刻总压降为各压降之和，即27)])(æ4([4)(...)])(æ4([4)()])(æ4([4)(P...PPP),(P2122121201n321ninniittrEKhQQttrEKhQQttrEKhQQtrPPo第四章弹性不稳定渗流理论28})])(æ4([)({42111jinjjjnjjttrEQQKhPP或对应近似公式有29])(æ25.2)([4),(211rttLnQQKhtrPPoPjnjjj第四章弹性不稳定渗流理论例：无限大地层中有一口变产量生产井，推导t时刻井底压力Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3t4tt第四章弹性不稳定渗流理论])(æ25.2)(æ25.2)(æ25.2)(æ25.2[4)(24423222122139，40作业第四章弹性不稳定渗流理论4-4圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解油藏弹性开发