大学物理第九章振动

景德镇高专物理系第九章振动vibration景德镇高专物理系本章要点：1.简谐振动的定义及描述方法.2.简谐振动的能量3.简谐振动的合成景德镇高专物理系物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。景德镇高专物理系9.1简谐振动simpleharmonicvibration9.1.1简谐振动实例simpleharmonicvibrationsample在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。景德镇高专物理系1.弹簧振子质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。景德镇高专物理系景德镇高专物理系图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。在小幅度振动时，由胡克定律可知，物体所受的弹性力Ｆ与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移x成正比，弹性力的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置。即Ｆ＝－kx式中k是弹簧的劲度系数,它由弹簧本身的性质(材料、形状、大小等)所决定，负号表示力与位移的方向相反。根据牛顿第二定律F=ma和a=，物体的加速度为即（9-1）对于一个给定的弹簧振子，k与m都是常量，而且都是正值，故我们可令（9-2）代入上式得（9-3）这一微分方程的解是（9-4）22dxdt22Fkxdxammdt220dxkxmdt2kωm2220dxωxdtcosxAωtφ（）景德镇高专物理系式中是积分常数，它们的物理意义将在后面讨论。由上式可知，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数关系随时间变化，我们把具有这种特征的运动称为简谐振动。根据速度和加速度的定义，将（9-4）分别对时间求一阶导和二阶导，可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度：（9-4a）（9-4b）上述各式中，（9-3）揭示了简谐振动中的受力特点，故称之为简谐振动的动力学方程，而（9-4）反映的是简谐振动的运动规律，故称为简谐振动的运动学方程。sindxv==ωAωtφdt（）222cosdxaωAωtφdt－（）Aφ和景德镇高专物理系2.单摆如图9-2所示，一根不会伸缩的细线上端固定，下端悬挂一个体积很小质量为m的重物。细线静止地处于铅直位置时，重物在其平衡位置O处。把重物从平衡位置略为移开后放手，重物就在平衡位置附近来回摆动,这种装置称为单摆。设在某时刻,单摆的摆线与竖直方向的夹角为θ，忽略一切阻力时，重物受到重力G和线的拉力T作用。重力的切向分量决定重物沿圆周的切向运动。设摆线长为l，沿逆时针方向转过的θ为正，根据牛顿运动定律得当θ很小时，≈θ，所以220gdθθdt　sinθmgsinθ22sindθmgθmldt－景德镇高专物理系景德镇高专物理系式中令。与式（9-3）相比较可知,单摆在摆角很小时的振动是简谐振动。2gωl景德镇高专物理系3.复摆个可一绕固定轴O转动的刚体称为复摆。如图9-3所示。平衡时，摆的重心C在轴的正下方，摆动到任意时刻,重心与轴的连线OC偏离竖直位置一个微小角度θ，我们规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。设复摆对轴O的转动惯量为J，复摆的质心C到O的距离OC=h。复摆在角度θ处受到的重力矩为M=－mghsinθ,当摆角很小时，,所以M=－mgθh，由转动定律得即式中令，与式（9-3）相比较可知,复摆在摆角很小时的振动是简谐振动22dθmghθJdt220mghdθθJdt＋2mglωJsinθθ景德镇高专物理系景德镇高专物理系例9-1.一远洋海轮，质量为Ｍ，浮在水面时其水平截面积为Ｓ。设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图9-4所示。试证明此海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。解选择Ｃ点代表船体。当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与重力相平衡，即F=ρgSh=Mg式中ρ是水的密度，h是船体Ｃ以下的平均深度。取竖直向下的坐标轴为y轴，坐标原点Ｏ与Ｃ点在水面处重合。设船上下振动的任一瞬时，船的位置即Ｃ点的坐标为y（y即是船相对水面的位移，可正可负），此时船所受浮力=ρgS(h+g)则作用在船上的合力由得：即式中M、S、、g皆为正，故可令，则==FMgFρgSyΣ=22dyFMdt22dyMρgSydt－022dyρgSyMdt2ρgSωM2022dyωydt景德镇高专物理系景德镇高专物理系可见，描写船位置的物理量y满足简谐振动的动力学方程，故船在水中所作的小幅度的竖直自由振动是简谐振动。作简谐振动的物体，通常称为谐振子。这个物体，连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为谐振系统。简谐振动是一种理想的运动过程。严格的简谐振动是不存在的，但对处于稳定平衡的系统，当它对平衡状态发生一微小的偏离后所产生的振动，在阻力很小而可以忽略时，就可以近似地看作是简谐振动。因此，谐振子是一个重要的理想模型。例由电容Ｃ、电感Ｌ所组成的一个回路，如图9-5所示。若给景德镇高专物理系景德镇高专物理系电容器充上一定的电荷Ｑ，在忽略阻力的情况下，就能形成在电路内周期性往返流动的电流，并引起电容器内的电场和电感线圈中的磁场的周期性变化，导致无阻尼电磁振荡。进一步的定量研究表明，在无阻尼的电磁振荡过程中，电容器极板上的电荷Ｑ和电路中的电流强度I皆满足式（9-3）的微分方程。此LC电路系统遵循谐振动的规律，故亦可称为谐振子。另外，对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的模型进行研究，像分子、原子、电子的振动等。由此可见，谐振动的规律不仅出现于力学范畴，它还出现于电磁学、原子物理学、光学及其它领域。因此，一个物理系统，若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式（9-3），皆可广义地称为谐振子。景德镇高专物理系9.1.2简谐振动的描述方法thewayofdescribingtosimpleharmonicvibration简谐振动的运动学方程（9-4）即反映了简谐振动的运动规律。下面我们逐个分析方程中出现的量。cosxAωtφ（）景德镇高专物理系1.振幅在简谐振动（9-4）的表式中，因余弦（或正弦）函数的绝对值不会大于１，所以物体的振动范围在+A和－A之间．我们把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A叫做振幅。它描述了振动物体往返运动的范围和幅度。这是个反映振动强弱的物理量。景德镇高专物理系2.周期和频率振动的特征之一是运动具有周期性。我们把完成一次完整全振动所经历的时间称为周期，用T来表示。单位是s。因此，每隔一个周期，振动状态就完全重复一次。设某时刻t物体的位置为x，在t＋T时刻物体到达位置由周期性，即上式方程中T的最小值应满足所以或（9-5）xcosxAωtφ（）cos[+]x=Aωt+Tφxxcos[+]Aωt+TφcosAωtφ（）2ωTπ2πTω2πωT景德镇高专物理系单位时间内物体完成全振动的次数称为频率，用或f表示。它的单位是赫兹，符号是Hz。显然，频率与周期的关系为或（9-6）可见振动方程中的是一个与振动的周期有关的物理量。表示物体在s的时间内所作的完全振动次数，称为振动的角频率，也称圆频率。它的单位是rad／s。周期和频率都是反映振动快慢的物理量。12ωυTπ12ωυTπ景德镇高专物理系对于弹簧振子，，所以弹簧振子的周期和频率分别为（9-7）由于弹簧振子的质量m和劲度系数k是其本身固有的性质，所以周期和频率完全由振动系统本身的性质所决定，因此被称为固有周期和固有频率。对于单摆，，所以单摆的周期和频率分别为单摆的振动周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长l，因此也是固有周期和固有频率，并且周期和频率还与摆球的质量无关。在小摆角的情况下，单摆的周期又与振幅无关，所以单摆可用作计时。单摆为测量重力加速度g提供了一种简便方法。2mTπk2kωm12kυπm2gωl2lTπg12gυπl景德镇高专物理系对于复摆，所以复摆的周期和频率分别为上式表明，复摆的振动周期和频率同样完全由振动系统本身的性质所决定，因此也是固有周期和固有频率。由复摆的周期公式可知，如果测出摆的质量m，重心到转轴的距离h，以及摆的周期T，就可以求得此物体绕该轴的转动惯量J。有些形状复杂物体的转动惯量，用数学方法进行计算比较困难，有时甚至是不可能的，但用振动方法可以测定。对于长为l、可绕过其一端的轴转动的细杆，，所以绕杆端轴线摆动的周期和频率分别为2mghωJ2JTπmgh12mghυπJ213Jml22π3lTg31υ2π2gl景德镇高专物理系3.相位和初相由（9-４）式可知，当角频率和振幅Ａ已知时，振动物体在任一时刻t的运动状态（位置、速度、加速度等）都由（）决定。（）是决定简谐振动运动状态的物理量，称为振动的相位。显然是t＝０时的相位，称为初相位，简称初相。在振动和波动的研究中，相位是一个十分重要的概念。物体的振动，在一个周期之内，每一时刻的运动状态都不相同，这相当于相位经历着从0到2的变化。例如图9-1所示的弹簧振子，我们用余弦函数表示的简谐振动，若某时刻（）=0，即相位为零，则可决定该时刻x=A，v=0，表示物体在正位移最大处而速度为零；当相位（）=时，x=0，v=，表示物体在平衡位置并以最大速率向x轴负方向即向左运动；而当相位（）=时，x=0，v=，这时物体也在平衡位置，但以最大速率向x轴ωtφωtφωtφωtφωtφ景德镇高专物理系正方向即向右运动。可见，不同的相位表示不同的运动状态。凡是位移和速度都相同的运动状态，它们所对应的相位相差或的整数倍。由此可见，相位是反映周期性特点，并用以描述运动状态的重要物理量。相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在“步调”上的差异。设有两个同频率的简谐振动，它们的振动表式为它们的相位差为111cos+x=Aωtφ（）111cos+x=Aωtφ（）2Δφωtφωtφφφ１２１（）－（＋）＝－景德镇高专物理系即它们在任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差。当等于零或的整数倍时，这时两振动物体将同时到达各自同方向的位移的最大值，同时通过平衡位置而且向同方向运动，它们的步调完全相同，我们称这样的两个振动为同相。当等于或者的奇数倍时，则一个物体到达正的最大位移时，另一个物体到达负的最大位移处，它们同时通过平衡位置但向相反运