大学物理简谐运动

第十四章机械振动14–1简谐运动机械振动与机械波第十四章机械振动14–1简谐运动振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波，在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波，光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒子都具有波动性——尽管在物质不同的运动形式中，振动与波动的具体内容不同，本质不同，但在形式上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律，都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振动与波动之间具有共同的特性。本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是其它振动与波动的基础第十四章机械振动14–1简谐运动振动和波动——物质的基本运动形式机械振动和机械波电磁振荡和电磁波声（机械波）光（电磁波）微观粒子的波动性机械振动：物体在一定的位置附近做来回往复的运动。振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。波动：振动状态在空间的传播。第十四章机械振动14–1简谐运动任一物理量在某一定值附近往复变化——振动.机械振动：物体围绕一固定位置往复运动.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.简谐运动：最简单、最基本的振动.本章研究：简谐运动简谐运动复杂振动合成分解第十四章机械振动14–1简谐运动§3-1简谐运动3-1-1简谐运动一、何为简谐运动？如果一个物体的运动方程的形式为)cos(tAx二、简谐运动的分析最典型的简谐运动——弹簧振子的振动kl0xmoAA弹簧振子的振动00FxmakxFxxFmo1、受力特征——线性恢复力，谐振特征力xmktx22ddmk2令xtx222dd)cos(tAx2、动力学方程xmkax2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa3、运动方程)cos(tAx4、速度5、加速度AvmAam26、运动图线tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取π2T)2πcos(tA)sin(tAv)πcos(2tA)cos(2tAa)cos(tAx一振幅maxxA二周期、频率π2T周期])(cos[TtAtx图AAxT2Tto3-1-2简谐运动的特征量)cos(2tAkmTπ2弹簧振子周期2Tmk2)cos(tAx周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意π21T频率Tπ2π2圆频率“固有周期”“固有频率”1）存在一一对应的关系;),(vxtπ2~02）相位在内变化，质点无相同的运动状态；三相位t3）初相位描述质点初始时刻的运动状态.)0(t)sin(tAv)cos(tAxt——相位一定，振动状态唯一确定tx图AAxT2Ttovvv22020vxA00tanxv四常数和的确定A000vvxxt初始条件cos0Axsin0Av对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2π0sin0Av2π0sin取0,0,0vxt已知求讨论xvo)2πcos(tAxAAxT2Tto)cos(tAx3-1-3旋转矢量法以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoA当时0t0x)cos(tAx以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAttt)cos(tAx时)cos(tAx旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAxy0At)cos(tAx例题14–3旋转矢量例.一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示．若t=0时，(1)振子在负的最大位移处，则初相为______________________；(2)振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________；(3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为_________．(4)振子在位移为--A/2处，且向正方向运动，则初相为_________．(5)写出以上四种情况的运动方程6.214–3旋转矢量xoA)tTcos(Ax232-34433232)2)1或））或)114–3旋转矢量例2一质量为的物体作简谐运动，振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4xm04.0处，向轴负方向运动（如图）.试求Ox（1）时，物体所处的位置和所受的力s0.1t（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0xo08.004.004.008.0m/xv例2一质量为的物体作简谐运动，振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4xm04.0处，向轴负方向运动（如图）.试求Ox（1）时，物体所处的位置和所受的力s0.1to08.004.004.008.0m/xv解（1）先求运动方程m08.0A1s2ππ2T设)cos(tAxo08.004.004.008.0m/x3π00vm04.0,0xt3π]πtπcos[).(x32080m08.0A1s2ππ2TAo08.004.004.008.0m/xv]3π2πcos[)08.0(txs0.1t代入上式得m069.0xxmkxF2)069.0()2π)(01.0(2N1070.13kg01.0mo08.004.004.008.0m/xv（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0x法一设由起始位置运动到处所需要的最短时间为m04.0xt]πtπcos[).(.32080m040s2π3π)21(arccosts667.0s32o08.004.004.008.0m/x解法二，由旋转矢量判断3π3π起始时刻时刻tt3πts667.0s32t1s2π例1如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.（1）把物体从平衡位置拉到处停下再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0x10sm30.0vm05.0x（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；m/xo0.05ox解（1）1s0.602.072.0mkm05.0022020xxAvA由旋转矢量图可知0)cos(tAx)m)(t.cos(.06500)cos(tAxoxA2A解)cos(tAx)cos(tA2AxA3πt由旋转矢量图可知tAsinv1sm26.0（负号表示速度沿轴负方向）Ox2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；)sin(ddtAtxv解m0707.022020vxA＇ox＇A4π)cos(tAx)SI(]4πt0.6cos[)0707.0(m05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知4π＇00v对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.相位差：两个简谐运动的相位之差.对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们步调上的差异.)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt120xto同步txoπ反相xto为其它超前落后14–3旋转矢量精析6.8已知两个简谐振动曲线如图所示．x1的相位比x2的相位超前_______．Oxx1tx2π/2O--AA12例，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x1=Acos(t+a)．当第一个质点从正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．求第二个质点的振动方程)π21cos(2atAx精析6.114–3旋转矢量)312cos(1042txs81s61s41s31s21精析6.6一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为(SI)．从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为［］例，两个弹簧振子的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为____________．π14–3旋转矢量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）3-1-4简谐运动的能量简谐运动能量图txtv221kAE0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAEEBCAApExO例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：kg10.0m100.122sm0.4（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）2maxAaAamax1s20s314.0π2T（2）J100.23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEEJ100.23（4）pkEE时，J100.13pE由222p2121xmkxE2p22mEx24m105.0cm707.0x第十四章机械振动14–5简谐运动的能量第十四章机械振动例1、底面积为S的长方形木块，浮于水面，水下部分高度为a，用手按下b后释放，1）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动2）求振动周期。一个物体的运动形式是由它的受力决定的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征力即线性恢复力。kxFab分析：如何判断一个物体是否做简谐振动？第十四章机械振动⑴对物体进行受力分析，若符合线性恢复力的形式，则物体一定做简谐振动⑵以物体的平衡位置为坐标原点，沿运动方向建立坐标⑶列出动力学方程，求出通解x⑷根据，确定ω和T，根据初始条件确定A和φ，最终确定运动方程mk2a1）证明：平衡时浮FmggaS任意位置x处，合力浮FmgFxogSxagaS)(gxSkx以平衡位置为坐标原点建坐标木块运动为谐振动x第十四章机械振动maFmgF浮kx2）木块的运动微分方程为gxSgxSdtxdm22agmgSmk2gaT2xdtxd222一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：(SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．)328cos(1.0tx解：周期，振幅A=0.1m，初相=2/3，vmax=A=0.8m/s(=2.5m/s)，amax=2A=6.42m/s2(=63m/s2)．)s(25.0/π2T一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少？14–3旋转矢量6.19两个同方向简谐振动的振动方程分别为(SI),(SI)求合振动方程．)4310cos(10521tx)4110co