大学物理经典系列之简谐振动

如：机械振动、电磁振动、分子振动、原子振动……。任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.机械振动物体围绕一固定位置往复运动.如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等.机械振动的特点：（1）有平衡点。（2）且具有重复性。即具有周期性振动。机械振动的分类：（1）按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。（2）按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。（3）按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。（4）按振动位移分：角振动、线振动。（5）按系统参数特征分：线性、非线性振动。简谐振动最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解一弹簧振子的振动弹簧振子若弹簧本身的质量和摩擦力忽略不计，即只有弹性恢复力作用下的质点的模型称为弹簧振子平衡位置物体所受合力为零，物体所在位置称为平衡位置。kl0xmoAA自然长度l0平衡位置(原点）00FxxxFmoAA任意位置makxFkaxmmk2令xa2xtx222dd222d0dxxt即简谐振动的微分方程该微分方程的通解)cos(tAx简谐振动的运动学方程A,为求解时的积分常量，由初始条件决定。km是由谐振子本身的性质决定的，称为振动系统的固有角频率。A简谐振动的加速度A简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。（1）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。x=Acos(ωt+φ)（2）动力学定义：物体仅受下式的合力作用的振动称为简谐振动。F=-kx（3）简谐振动的运动微分方程d2x/dt2+ω2x=0简谐振动定义讨论:竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力合外力振动方程A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同例二三描写简谐振动的三个特征量从描写简谐振动的运动学方程中可看出，一个简谐振动系统，若确定了A、ω、φ，则简谐振动系统的振动就完全确定了，因此称这三个量为简谐振动的三个特征量。)cos(tAx1振幅A物体的运动范围为：，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。AxA平衡位置X-AA2周期和频率（1）周期完成一次振动需时间-----振动的周期。)()(Ttxtx])(cos[)cos(TtAtA（2）频率每秒内振动的次数称为频率ν，单位：赫兹（HZ）2T2TmkkmπT2对弹簧振子：T122T角频率tx图AAxT2TtoglT22对单摆周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关3相位)cos(tAxAA相位：是界定振子在时刻的运动状态的物理量运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相：是时，振子的相位。tx图AAxT2TtoXπ]20[π]π[(取或)22020vxA4常数和的确定A000vvxxt初始条件cos0Axsin0Av)sin(tAv)cos(tAx或km00tanxv0,0,0vxt已知求2π02π0sin取例四某物体沿X轴作简谐运动，振幅A=0.12周期T=2s，t=0时x0=0.06m处初相,t=0.5s时的位置x,速度v,加速度a物体背离原点移动到位置A=0.12m，T=2s,=2/T=rad·s-1,将=/3rad及t=0.5s代入谐振动的x,v,a定义式得xAcos(t﹢)0.104(m)A0.19(m·s-1)A1.03(m·s-2)x=Acos(t﹢)由简谐振动方程t=0时0.06=0.12cos得=±/3再由题意知t=0时物体正向运动，即A0且=/3，则在第四象限，故取例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A=0.04(m)T=2(s)=2/T=(rad/s)0.042SI0cos0xA0sin0vAt=0时2在不能延伸的轻线下端悬一小球m，小球在重力和拉力作用下，在铅直平面内作往复运动，这样的振动系统称为单摆。悬线与铅直方向之间的角度θ作为小球位置的变量，称为角位移，规定悬线在铅直线右方时，角位移为正。悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。sinmgF二单摆的振动模型平衡位置---铅直方向0F任意位置当θ很小时sinθ≈θ(θ＜5°)mgF符合简谐振动的动力学定义由牛顿第二定律mgmatmgdtdml22lg2令0222dtd单摆运动学方程：)cos(tmsinmgF恢复力glT22)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）总机械能振幅不变简谐运动能量图txtv221kAE0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21均随时间而变且能量相互转换均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时例如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩檫），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解:JE5.005.010mkEA204.0245.022)/1(2624smk)2cos(204.0tx,0Axt时例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：kg10.0m100.122sm0.4（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）2maxAaAamax1s20s314.0π2T（2）J100.23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEEJ100.23（4）pkEE时，J100.13pE由222p2121xmkxE2p22mEx24m105.0cm707.0x描述谐振动的方法：2.曲线法：3.旋转矢量法：1.函数法：cos()xAtoAxcos()xAtxt+t=t:初相位t+：相位11t=0AAXx=Acos(t﹢)oAxcos()xAtt+t=t:初相位t+：相位11t=0AAXx=Acos(t﹢)02t物体正越过原点,以最大速率运动.下个时刻要向x轴的负方向运动.oAxcos()xAtt+t=t:初相位t+：相位11t=0AAXx=Acos(t﹢)A物体在负向位移极大处,速度为零.下个时刻要向x轴的正方向运动.toAxcos()xAtt+t=t:初相位t+：相位11t=0AAXx=Acos(t﹢)032t物体正越过原点,以最大速率运动.下个时刻要向x轴的正方向运动.oAxcos()xAtt+t=t:初相位t+：相位11t=0AAXx=Acos(t﹢)A0t物体在正向位移极大处,速度为零.下个时刻要向x轴的负方向运动.oAxcos()xAtt:初相位t+：相位11t=0AAX循环往复A旋转一周，投影点作一次全振动，所需时间为谐振周期。2ToAxxt+t=t11t=0AAXx=Acos(t﹢)旋转矢量的模A振幅旋转角速度ω逆时针角频率与x轴的0时刻夹角φ初相位t时刻与x轴的夹角(t﹢)相位矢量画法小结续上旋转矢量端点M作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）A其速率AtAXAAXOtO旋转矢量端点M的加速度为法向加速度，其大小为A振子的运动加速度（与X轴同向为正）At和任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速xxvxxvxxvxxv振动质点位移、速度与特征点(t=0时对应的φ)x00时Φ在1,4象限v00时Φ在3,4象限例1.一物体沿x轴作简谐振动，A=12cm,T=2s当t=0时,x0=6cm,且向x正方向运动。解：（1）由旋转矢量图看cm()x0t1211323（2）t=0.5s时,物体的位置、速度、加速度。2cos()xAtTsin()vAt2cos()aAt212cos(05)2310.4(cm)118.9(s)2103(cms)2求（1）初位相。0??（2）t=0.5s时例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A=0.04(m)T=2(s)=2/T=(rad/s)0.042A=/2t=0v0从t=0作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~t曲线一致。v0SI例三弹簧振子x0=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4N·m-1完成下述简谐振动方程v0km0.2(rad·s–1)x0v02(m)x0=0已知相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0AAx2AtoabxAA0讨论相位差：表示两个振动状态相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3πTTt61π23πv2Abt0xto同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txoπ反相［例］已知振动曲线求初相位及相位。如图所示的x—t振动曲线，已知振幅A、周期T、且t=0时，求：2Ax(1)该振动的初相位；(2)a、b两点的相位；(3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?方法二，用旋转矢量法由已知条件可画出t=0时振幅矢量，同时可画出，时刻的振幅矢量图如图所示。由图可知，(3)(1)3(2)0at2bt623TTtaTTtb125/23/2/2/［例］已知振动曲线求初相位及相位。如图所示的x—t振动曲线，已知振幅A、周期T、且t=0时，求：2Ax(1)该振动的初相位；(2)a、b两点的相位；(3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?解：方法一(1)由题图可知，t=0时，2cosAAx21cos30sinAdtdxv3)3cos(tAx(2)由题图a点，cos()aaxAtA则a点的相位0at由题图b点，cos()0bbxAt2bt0)sin(tAdtdxv故b点的相位为:2bt(3)设从t=0到两态所用的时间为ta、tb0at2bt623TTta