1.6三角函数模型的简单应用习题课

1.6三角函数模型的简单应用习题课1．给定性质：a：最小正周期为π；b：图象关于直线x＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．①y＝sinx2＋π6；②y＝sin2x＋π6；③y＝sin|x|；④y＝sin2x－π6.2．若函数f(x)＝2sinωx(ω0)在－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为_____3．有一种波，其波形为函数y＝sinπ2x的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝π12，则a的值为________．5．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)，将函数y＝f(x)的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．96．函数y＝sin3x的图象可以由函数y＝cos3x的图象()A．向左平移π2个单位得到B．向右平移π2个单位得到C．向左平移π3个单位得到D．向右平移π3个单位得到7．如果函数y＝cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π28．已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0，2]9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A0，|φ|π2的部分图象如图K20－1所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度10．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图K20－2所示，则φ＝________.11．当函数y＝sinx－3cosx(0≤x2π)取得最大值时，x＝________．12．若将函数y＝sinωx＋5π6(ω0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y＝sinωx＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．13．若π4xπ2，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．14．(10分)如图K20－3是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A0，ω0，－π2φπ2.(1)根据图象求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在π2，π上的最大值和最小值．15．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1)，b＝(cosx，3sin2x＋m)．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x∈0，π6时，f(x)的最大值为4，求m的值．16．(12分)[2013·东北模拟]如图K20－4是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A0，ω0，－π2φπ2.(1)根据图象求函数y＝f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝fx＋π6，实数α满足0απ，且απg(x)dx＝3，求α的值．答案1．④[解析]④中，∵T＝2π2＝π，又2×π3－π6＝π2，所以x＝π3为其对称轴．2.34[解析]由题意，得43π≤T2，即43π≤πω，∴0ω≤34，则ω的最大值为34.3．5[解析]函数y＝sinπ2x的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥54T＝5.4.33[解析]∵x＝π12是对称轴，∴f(0)＝fπ6，即cos0＝asinπ3＋cosπ3，∴a＝33.5．B[解析]f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)向右平移23π个单位长度得f(x)＝sinωx－2πω3＋π3，所以－2πω3＝2kπ，ωmin＝3.选B.6．A[解析]本题主要考查三角函数图象的变换．属于基础知识、基本运算的考查．y＝sin3x＝cos3π2＋3x＝cos3x＋π2，故函数y＝cos3x的图象向左平移π2个单位得到y＝sin3x.7．A[解析]由对称中心可知4π3×2＋φ＝π2＋kπ，即φ＝π2＋kπ－8π3＝(k－2)π－π6，显然当k＝2时，|φ|min＝π6，选A.8．A[解析]因为当ω＝1时，函数y＝sinωx＋π4＝sinx＋π4在π2，π上是单调递减的，故排除B，C项；当ω＝2时，函数y＝sinωx＋π4＝sin2x＋π4在π2，π上不是单调递减的，故排除D项．故选A.9．A[解析]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝sin2x＋π3，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，故选A.10.9π10[解析]由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45.∵当x＝34π时，y有最小值－1，因此45×3π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)．∵－π≤φπ，∴φ＝9π10.11.5π6[解析]本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y＝2sinx－π3，由x∈[0，2π)得x－π3∈－π3，5π3，∴x－π3＝π2时，即x＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.12.74[解析]依题意，将函数y＝sinωx＋5π6(ω0)的图象向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y＝sinωx＋5π6－π3ω(ω0)，它的图象与函数y＝sinωx＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝74－6k(k∈Z)．因为ω0，所以ωmin＝74.13．－8[解析]π4xπ2，tanx1，令tan2x－1＝t0，则y＝tan2xtan3x＝2tan4x1－tan2x＝2（t＋1）2－t＝－2t＋1t＋2≤－8，当且仅当t＝1t，即t＝1，即tanx＝2时取等号，故填－8.14．解：(1)由函数图象及函数模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)知A＝2；由2πω＝T＝13π3－π3＝4π，得ω＝12，由最高点43π，2得，12×4π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝－π6＋2kπ(k∈Z)，又－π2φπ2，∴φ＝－π6.∴所求函数解析式为y＝f(x)＝2sin12x－π6(x≥0)．(2)方法一：将y＝f(x)＝2sin12x－π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2sinx－π6的图象，∵π2≤x≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，当x－π6＝π2，即x＝2π3时，g(x)有最大值2；当x－π6＝5π6，即x＝π时，g(x)有最小值1.方法二：将y＝f(x)＝2sin12x－π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2sinx－π6的图象，令t＝x－π6，∵函数y＝2sint的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z，设A＝π2，π，B＝x－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z，则A∩B＝π2，2π3，∴函数y＝g(x)在区间π2，2π3上单调递增，同理可得，函数y＝g(x)在区间2π3，π上单调递减．又∵gπ2＝3，g2π3＝2，g(π)＝1，∴函数y＝g(x)在π2，π上的最大值为2，最小值为1.15．解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋3sin2x＋m＝2sin2x＋π6＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ，k∈Z.因此f(x)在[0，π]上的单调递增区间为0，π6，2π3，π.(2)当x∈0，π6时，∵f(x)单调递增，∴当x＝π6时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.16．解：(1)由函数图象及函数模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)，知A＝2；由12T＝7π6－π6＝π，得T＝2π，∴ω＝2πT＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，把(0，－1)代入上式，得sinφ＝－12，∵－π2φπ2，∴φ＝－π6，∴所求函数的解析式为y＝f(x)＝2sinx－π6.(2)由(1)知g(x)＝fx＋π6＝2sinx，∵απg(x)dx＝3，∴απ2sinxdx＝－2cosx)πα＝－2cosπ－(－2cosα)＝3，解得cosα＝12，又实数α满足0απ，则所求α的值为π3.