2012广东高考数学理科试题及答案

2012广东高考数学理科试题信参考答案第1页共10页2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设i为虚数单位，则复数56iiA．65iB．65iC．65iD．65i2.设集合1,2,3,4,5,6,1,2,4UM，则UCMA．UB．1,3,5C．3,5,6D．2,4,63.若向量(2,3),(4,7)BACA，则BCA．(2,4)B．(2,4)C．(6,10)D．(6,10)4.下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是A．ln(2)yxB．1yxC．12xyD．1yxx5.已知变量,xy满足约束条件211yxyxy，则3zxy的最大值为A．12B．11C．3D．16.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12B．45C．57D．817.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A．49B．13C．29D．198.对任意两个非零向量α,β，定义αβαβ=ββ,若向量a,b满足||||0ab，a,b的夹角(0,)4，且ab和ba都在集合|2nnZ中，则ab=2012广东高考数学理科试题信参考答案第2页共10页A．12B．1C．32D．52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9~13题）9.不等式|2|||1xx的解集为。10.261()xx的展开式中3x的系数为。（用数字作答）11.已知递增的等差数列na满足21321,4aaa，则na。12.曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程为。13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C参数方程分别为()xttyt为参数和2cos()2sinxy为参数，则曲线1C和2C的交点坐标为。15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，,,ABC为圆周上的三点，满足30ABC，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数()2cos()6fxx（其中0,xR）的最小正周期为101）求的值；2）设56516,[0,],(5),(5)235617ff，求cos()的值。2012广东高考数学理科试题信参考答案第3页共10页17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。1）求图中x的值；2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。18.（本小题满分13分）如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面，点E在线段PC上，PCBDE平面（1）证明：BDPAC平面（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。19．（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,aaa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa。2012广东高考数学理科试题信参考答案第4页共10页20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(,)Mmn，使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,AB，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分14分）设1a，集合2|0,|23(1)60AxRxBxRxaxax，DAB（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6fxxaxax在D内的极值点。2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：1—8:DCAABCDB注：第8题解析：因为||2coscos||2abaabbbb，||coscos1||babbaaaa且ab和ba都在集合{|}2nnZ中，所以，||1cos||2bbaa，||1||2cosba，所以2||cos2cos2||aabb所以222ab，故有1ab2012广东高考数学理科试题信参考答案第5页共10页9.]21,(（写成集合形式也给分1|2xx）10.2011.21n12.210xy13.814.(1,1)15.3第9题注解：|2|||1xx|x-(-2)|-|x-0|1即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数()2cos()6fxx（其中0,xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设56516,[0,],(5),(5)235617ff，求cos()的值。解：（1）由题意210，解得15。（2）由题62cos()25162cos17，即3sin58cos17，又,[0,]2，可得4cos515sin17，所以48315cos()coscossinsin5175171385。17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。解：（1）由题意：(0.0540.010.0063)101x，解得0.018x；（2）80~90分有500.018109人；90~100分有500.006103人。所有可能的取值为0,1,22012广东高考数学理科试题信参考答案第6页共10页211299332221212121291(0);(1);(0)222222CCCCPPPCCC故129101222222212E。18.（本小题满分13分）如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面，点E在线段PC上，PCBDE平面（1）证明：BDPAC平面（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。（1）证明：∵PAABCD平面，∴PABD；∵PCBDE平面，∴PCBD。又PAPCP，∴BDPAC平面。（2）解：设,ACBD交于O，连结OE，由题,PCBEPCOE，所以BEO即为二面角BPCA的平面角。由（1）知，BDAC，所以四边形ABCD为正方形，易得2212,1832OCACPCPAAC。由（1）知90OECPAC又OCEPCA，有OECPAC，故OEOCPAPC，23OCOEPAPC。在RtBOE中，tan3OBBEOOE。所以二面角BPCA的正切值为319．（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,aaa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa。解：（1）由题21231232132212()212(5)aaaaaaaa，解得1231519aaa，故11.a2012广东高考数学理科试题信参考答案第7页共10页（2）当1n时，11a；当2n时，11221nnnSa①1221nnnSa②由①-②得：122nnnnaaa，整理得111332,1(1)222nnnnnnnaaaa，故1(2)2nnan为公比为32的等比数列，首项为229124a，故29331()()2422nnnna，32nnna，经验证当1n时，1132a综上*32()nnnanN。（3）当3n时32(12)2nnnnna12211122222nnnnnnnCCC122111222nnnnnCCC2222(1)nCnn又因为2522(21)a，所以，2(1),2nannn。所以，11111()2(1)21nannnn所以，12311111111111131(1)1(1).2234122naaaannn20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(,)Mmn，使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,AB，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。解：（1）由222233cecaa，所以222213baca2012广东高考数学理科试题信参考答案第8页共10页设(,)Pxy是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb222222233||(2)3(2)2(1)6()33PQxyayyyaaya①
当33133aa，即3a时，1y时，||PQ有最大值263a，可得3a，所以1,2bc；②当313a，即03a时，33ya时，||PQ有最大值23(2)33a，可得3a，舍去。所以1,2bc故椭圆C的方程为：221.32xy（2）因为(,)Mmn在椭圆C上，所以22132mn，22332mn设11(,)Axy，22(,)Bxy，由2211mxnyxy，得2222()210mnxmxn所以，222222222144()(1)4(1)4(2)02mmnnnmnnn，可得24n并且：12222mxxmn，212221nxxmn所以，2212121212222111()1mxmxmxxmxxmyynnnmn所以，222222121211221212||()()2()ABxxyyxyxyxxyy2222222211122()21nmmnmnmn（亦可22||ABrd，其中d为圆心到直线1mxny的距离）设点O到直线AB的距离为h，则221hmn2012广东高考数学理科试题信参考答案第9页共10页所以