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20.3极差、方差与标准差2.众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．一组数据中的众数可能不止一个,也可以没有.1.求中位数时，要先将数据按大小顺序.排序时，从小到大或从大到小都可以．当数据个数为奇数时，中位数是最中间的一个数据；但当数据个数为偶数时，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等。阶段性小结：众数、中位数都是用来描述一组数据的集中趋势.1、数据1，3，4，2，4的中位数是_____求中位数要先排序33.52和3(众数不惟一)2、数据1，3，4，5，2，6的中位数是_____3、数据1，2，3，2，3，4的众数是_____身高/米1.51.61.651.71.751.8人数/名2112114、某班8名男同学的身高如下（单位：米）试求出平均数、众数和中位数．下表显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温：试对这两段时间的气温进行比较．2002年2月下旬的气温比2001年高吗？两段时间的平均气温分别是多少？经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢？根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图我们进行分析．051015202521日22日23日24日25日26日27日28日2001年2002年不同时段的最高气温通过观察，发现：2001年2月下旬的气温波动比较大-------从6℃到22℃，而2002年同期的气温波动比较小---------从9℃到16℃.622916什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范,用这种方法得到的差称为极差。极差＝最大值－最小值．思考•为什么说本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”？这里四季分明。这里一年四季温度差不大例1:观察图20.3.1，分别说出两段时间内气温的极差．解由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图(b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看，整段时间内气温变化的范围不太大．1、样本3，4，2，1，5,6,的平均数为,中位数为；极差为；2、样本a+3，a+4，a+2，a+1，a+5的平均数为____,中位数为______,极差为___.3.53.55a+3a+34小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如表20.3.2所示.谁的成绩较为稳定？为什么？测试次数12345小明1014131213小兵1111151411表20.3.2•通过计算，我们发现两人测试成绩的平均值都是12.4分．从图20.3.2可以看到：相比之下，小明的成绩大部分集中在平均值附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大．通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．•思考•怎样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度?•我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢?可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗?在表20.3.3中写出你的计算结果．所以我们说小明的成绩较为稳定.12345求和小明每次测试成绩101413121362每次成绩－平均成绩小兵每次测试成绩111115141162每次成绩－平均成绩通过计算，依据最后求和的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗?如果不行，请你提出一个可行的方案，在表20.3.4的中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中．不能20.3.312345求平方和小明每次测试成绩1014131213每次成绩－平均成绩小兵每次测试成绩1111151411每次成绩－平均成绩20.3.41234567小明每次测试成绩101413缺席12缺席13小兵每次测试成绩1111151114141120.3.5如果一共进行了7次测试,小明因故缺席了两次,怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填入表20.3.5中.思考2平均成绩）-每次成绩(2平均成绩）-每次成绩(★我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况。这个结果通常称为方差.通常用S2表示一组数据的方差，用x表示一组数据的平均数，x1、x2、…..表示各个数据。])()()[(1222212xxxxxxnSn在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差.22s标准差方差方差标准差S发现：方差或标准差越小，离散程度越小，波动越小.方差或标准差越大，离散程度越大，波动越大方差与标准差------描述一组数据的波动大小或者与平均值的离散程度的大小.极差----反映一组数据变化范围的大小；总结:平均数------反映一组数据的总体趋势计算可得：小明5次测试成绩的标准差为小兵5次测试成绩的标准差为区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感.方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小.标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.1.比较下列两组数据的极差、方差和标准差:A组:0,10,5,5,5,5,5,5,5,5;B组:4,6,3,7,2,8,1,9,5,5解:先求平均数5)5591827364(1015)5810(101____BAxxA组极差:10-0=10,B组极差:9-1=8求方差:A的极差﹤B的极差比较下列两组数据的极差、方差和标准差:A组:0,10,5,5,5,5,5,5,5,5;B组:4,6,3,7,2,8,1,9,5,5解:求方差:6])55(2)59()51()58()52()57()53()56()54[(1015])55(8)510()50[(10122222222222222BAss标准差:65BAssSA﹤SBA的方差﹤B的方差•2算一算，第141页问题1中哪一年气温的离•散程度较大?和你从图20.3.1中直观看出的结果一致吗?解：2001年2月下旬气温的方差为20.75（度C平方），2002年2月下旬气温的方差为4（度C平方），因此2001年2月下旬气温的离散程度较大，和图中直观的结果一致。(1)知识小结：对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别:方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。(2)方法小结：求方差先平均，再求差，然后平方，最后再平均求标准差先求方差，然后再求方差的算术平方根.