第一章 随机事件与概率(4)

课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计§1.4条件概率实际中，会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。ABP记为：引例一、条件概率的定义二、条件概率的性质三、乘法公式四、全概率公式五、贝叶斯Bayes公式引例袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设A表示取得白球;B表示取得木球.古典概型解74ABP)()(APABP给十个球编号1－7号是白球其中1－4号为木球，5、6、7号为塑料球，8－10号为红球，其中8、9为木球，10为塑料球}984321{},7,6,5,4,3,2,1{、、、、、则，BAABP题目即求：3264BAP)()(BPABP称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为)(/)(APABP设A、B为两事件,P(A)0,则定义ABP)()(APABP(1)在缩减的样本空间上直接计算。(2)利用公式计算。条件概率的计算方法一、条件概率的定义年龄（岁）存活概率年龄（岁）存活概率01.001400.70200.921600.61400.901800.51600.892000.39800.872200.081000.832400.0041200.782600.0003例1下表是乌龟的寿命表.求下面一些事件的条件概率.活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少?记表示“乌龟活到t岁”这一事件tA),(60100AAP)()(606010060100APAAPAAP由于活到100岁的乌龟一定活到60岁,所以,60100AA,10010060AAA解：题目即求条件概率由条件概率定义从而93.089.083.0)()(6010060100APAPAAP即100只活到60岁的乌龟大约有93只能活到100岁.条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系一般地上例中83.0)(93.0)(10060100APAAP)()()()()(BPAPBPAPABPABP若AB引例中106)(74BPABP例2从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2张都是假钞的概率.解令A表示“抽到2张都是假钞”.B表示“2张中至少有1张假钞”则所求概率是（而不是！）.BAPAPBA)(APABP22025/CC2201151525/)(CCCCBP)(/)(BPABPBAP所以118.085/10)/(1151522025CCCC二、条件概率的性质条件概率也是概率,故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性规范性可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBP)(1)(ABPABP)()()(21121ABBPABPABBP0)(AP——概率的三条公理.,,,21两两互不相容其中nBBB利用条件概率求积事件的概率即乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP三、乘法公式解令A表示事件“产品是甲厂生产的”B表示事件“产品是次品”由题设知10.0ABP.06.010.060.0)()()(ABPAPABP某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意地抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。例360.0AP根据乘法公式，有例4为了防止意外,矿井内同时装有A与B两种报警设备,已知设备A单独使用时有效的概率为0.92,设备B单独使用时有效的概率为0.93,在设备A失效的条件下,设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.设事件A,B分别表示设备A,B有效85.0ABP92.0AP93.0BP则解：)|()()()()()(ABPAPABPABPABPBP故)()()()(ABPBPAPBAP题目即求：988.085.008.092.0)|()()()(ABPAPAPBAP解法二BAP988.0)(BAP)()()(ABPAPBAP012.085.0108.0)(1)(ABPAP思考题：袋中有一个白球及一个红球，一次次地从袋中取球，如果取出白球，则除把白球放回再加进一个白球，直至取出红球为止.求取了n次都没有取到红球的概率.解：记iA＝{第i次取得白球}，i＝1,2,…,nA={取了n次都没有取到红球}则12nA=AAA1n12nP(A|AAA)=12nP(AAA)1P(A)21P(A|A)n-112n-2P(A|AAA)前n-2次取得白球的条件下，第n-1次取得白球n-112n-2n-1P(A|AAA)=n前n-1次取得白球的条件下，第n次取得白球1n12n-nP(A|AAA)=n+1第一次取得白球的条件下，第二次取得白球的概率212P(A|A)=3第一次取得白球11P(A)=212n-1n=23nn+11=n+1第2次第1次…n-1个…n个第n次第n-1次练习：设有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.从三个地区中随机地取一个地区再从中随机的抽取一份报名表，求抽出一份是女生表的概率.Ai={报名表是第i区}i＝1,2,3B={抽到的报名表是女生表}解：设五、全概率公式人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决.B1BnAB1AB2ABnjiniiBBB1))((1jiniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBPAB2全概率公式练习：设有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.从三个地区中随机地取一个地区再从中随机的抽取一份报名表，求抽出一份是女生表的概率.Ai={报名表是第i区}i＝1,2,3B={抽到的报名表是女生表}解：设P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)103第一地区715第二地区255第三地区由全概率公式在第一地区的表格中抽得女生表格的概率P(B|A1)=3/10在第二地区的表格中抽得女生表格的概率P(B|A2)=7/15在第三地区的表格中抽得女生表格的概率P(B|A3)＝5/25从三个地区中随机抽得一个的概率P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/329=90人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化.现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.思考题解:设A表示利率下调,表示利率不变则A设B表示股票价格上涨,6.0)(AP4.0)(AP8.0)(ABP4.0)(ABP由题设解:设A表示利率下调,表示利率不变则A设B表示股票价格上涨,6.0)(AP4.0)(AP8.0)(ABP4.0)(ABP由题设于是)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP4.04.08.06.064.0例1.4.5全厂产品的次品率，求，，别为各车间产品的次品率分，，，全厂的每个车间的产量分别占产品，丙三个车间生产同一种乙某厂由甲%2%4%5%40%35%25,,解:表示取到次品丙车间乙分别表示产品来自甲设BAAA,,,,321)()()(31iiiABPAPBP02.04.004.035.005.025.0第二次取到次品分别表示第一次设,,BA)()()()()(ABPAPABPAPBP5199920010008009991991000200说明了抽签的公平性率求第二次取到次品的概件不放回地取件次品，依次件产品中有设,22001000例1.4.6解:)(ABPi)()(APABPinjjjiiBAPBPBAPBP1)()()()(六、Bayes公式Bayes公式称)(ABPi为后验概率,它是得到了信息发生,再对导致A发生的原因发生的可能性大小重新加以修正.称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件A的原因.全概率----由因求果贝叶斯----执果求因—A)BA(P例1.4.7数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P＝＝0.067解：设A---发射端发射0，B---接收端接收到一个“1”的信号．45.085.055.005.055.005.00(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)条件概率小结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式练习1的概率品，它是乙车间生产从中任取一件恰好是次全厂产品的次品率，求，，别为各车间产品的次品率分，，，全厂的每个车间的产量分别占车间生产同一种产品，某厂由甲，乙，丙三个)2()1(%2%4%5%40%35%25课堂练习练习２的概率”信号“”时，发报台确实发出收到信号“”，求当收报台”和“收到信号“和收报台分别以概率”时又若发出信号为“”，”和“收到信号“和台分别以概率收报”时当发出信号“由于通信受到干扰”，”和“发出信号“和发报台分别以***1.09.0,*2.08.0,*,*4.06.0练习３袋中有十只球,其中九白一红,十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二、第三、…、最后一个人取得红球的概率各是多少？练习4盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求:（1）取两次，两次都取得一等品的概率（2）取两次，第二次取得一等品的概率（3）取三次，第三次才取得一等品的概率（4）取两次，已知第二次取得一等品，求:第一次取得的是二等品的概率解答:（1）)(21AAP次取到一等品表示第设iAi)()(121AAPAP4253103)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP101334152提问：第三次才取得一等品的概率,是?)()(321213AAAPAAAP还是（2）直接解更简单5/3)(2AP（3）)(2AP)(2121AAAAP)()(2121AAPAAP)()(121AAPAP)()(121AAPAP4253435253（2）(4))(21AAP5.0153103)()(221APAAP)()()(2212APAAPAP