2.2_直接证明与间接证明(人教A选修1-2)

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）复习合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.回顾基本不等式：(a0,b0)的证明过程：a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…特点:“执因索果”综合法又叫由因导果法或顺推证法.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…分析法又叫执果索因法或叫逆推证法例1：已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------①因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------②所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③由a,b,c成等比数列，有b2=ac,-----------------------------------------------④则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤则由②③⑤得A=B=C=60o。所以三角形ABC是等边三角形。.1.PABCOABPAPBPCPOABC已知点是直角三角形所在平面外的一点，是斜边的中点，并且＝＝，求证：平面例 ..1809090..OCOPABRtABCOABOAOBOCPAPBPCPOAPOBPOCPOAPOBPOCPOAPOBPOAPOBPOCPOOAPOOCAOOCOPOABC连接，，如图所示，因为是的斜边，是的中点，所以＝＝又因为＝＝，所以≌≌，所以＝＝因为＋＝，所以＝＝，所以＝即，且＝，所以平面证明：2221.131.abcabcabc已知，，为正实数，＋＋＝求证：＋＋素材：222222222222222222222211(3331)331[333()]31(333222)31[()()()]0.31.13abcabcabcabcabcabcabacbcabbccaabc＋＋－＝＋＋－＝＋＋－＋＋＝＋＋－－－－－－＝－＋－＋－方法：所＋＋证以明：22222222222222222222()2223()()11.23abcabcabacbcabcabacbcabcabcabc因为＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋，所以＋＋＋＋＝，所以＋＋方法：222222222222222111.13330.111()()()3331211().3333.313abcabcabcabc设＝＋，＝＋，＝＋因为＋＋＝，所以＋＋＝所以＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋所以＋＋方法：例3:求证3725证明：因为都是正数，3725和所以为了证明3725只需证明22(37)(25)展开得1022120即215只需证明2125，因为2125成立，所以不等式成立。37252。分析法22.03abcabcbaca已知，且＋＋＝，求证：例题型二用分析法证明本例可从结果入手，执果索因，逐步推证出恒成分析：立的条件．22222223,3()320()(2)0()()0.00()()0bacabacabaabaaabbabababacabcabacabac要证只需证－只需证＋＋，只需证－－，只需证－＋，只需证－－因为，所以－，－，所以－－，显然成立，故原不等证明：式成立．lglglglglglg.2222.abcabbccaabc若、、是不全相等的正数，请用分析法证明：＋＋＋＋素材lglglglglglg.222lg()lg2222220002220*222*abbccaabcabbccaabcabbccaabcabbccaabbccaabbccaabcabc要证＋＋＋＋成立即证成立，只需证明成立．因为，，，所以成立．又因为、、是不全相等的正数．所以式等号不成立，所以原不等证明：式成立．.(201011)3ABCABCabcabbcabcABC在中，三个内角、、的对边分别为、，，试问：，，是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列备选例题淮南，请给模拟出证明．22222211331()()()().1cos.0180222602120ABCabcabcabbcabcabbccacbcaababbcabbcbacacABCacbacBBacacBACBAB，，成等差数列，下面用综合法给出证明．因为，所以，所以＝，所以＋＋＋＝＋＋，所以＝＋－在中，由余弦定理，得＝＝＝因为，所以＝，所以＋＝＝，所：以明、证C、成等差数列．2.2.2反证法思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.•反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，````````得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立反证法的思维方法：正难则反例5:已知直线a,b和平面,如果且a∥b,求证:a∥ba,abP看课本第90页，例题4。把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。理论归纳总结：三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。练习已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=0∵a≠012120,即∴x-xx=x12与xx矛盾故假设不成立，结论成立。证：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1≠x2)是方程的两个根.（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构