根据卡氏定理

本章要点求解静不定系统的叠加法、能量法、力法重要概念静不定系统、叠加法、能量法、力法§11-1静不定系统的概念目录§11-2叠加法能量法§11-3用力法解静不定系统§11-1静不定系统的概念1.静不定系统：由静力平衡方程可以求得全部求知力的结构称为静定结构或静定系统。反之称为静不定结构或静不定系统。一.回顾：对于静不定问题，在过去的章节中，我们已作了一定程度的研究，如拉压部分的拉压静不定，扭转部分的扭转静不定，弯曲部分的弯曲静不定等。本章主要研究弯曲静不定梁的三种解决方法——叠加法、能量法、力法。二.基本概念：2.静不定次数：未知约束反力的数目与静力学平衡方程的数目之差。三.静不定系统的求解方法：1.叠加法2.能量法3.力法3.基本静定系：通过把多余约束用支反力来替代，从而使得静不定梁在形式上转变成静定梁，这种形式上的静定系统称为基本静定系。目录§11-2叠加法能量法2.举例说明：一.叠加法：(1)建立基本静定系1.求解步骤：(2)将基本静定系分解成各个载荷单独作用情况的叠加，并求出各种情况下的某特殊位置（多余约束处）的变形量。(3)建立变形协调条件，求出未知约束反力。例1：试求图示静不定梁的约束反力：qBL（1）建立基本静定系统如图a所示（2）将图a分解成图b和图c两种情况的叠加图中：解：qRBB(a)fBqq(b)RBB(C)(fB)RB（3）建立变形协调条件：因B点实际为一活动铰支座，故0Bf即：RLREILREIqLBB8303834总结：叠加法解题，思路较为清晰，其中的各基本变形量的求解方法也较为灵活，但当梁上载荷较多时，基本变形量较多，求解过程则相对较为复杂。故对多载荷作用的梁的静不定问题不宜采用。EIqLfqB84EILRfBRBB33EILREIqLfffBqBRBBB3834二.能量法（能量法中以卡氏定理求解静不定问题特点较为突出，下面以卡氏定理为例进行说明）1．步骤：（1）建立基本静定系（2）求解弯矩方程xMxM及对多余约束的约束反力的偏导BRxM的位移。Bf，并利用卡氏定理求出特殊位置处（多余约束处）（3）建立变形协调条件，确定多余约束束反力。2．举例说明——仍以上例为例进行说明如图：22qxxRxMBxRxMB根据卡氏定理：（1）建立基本静定系如图所示：（2）求解xM及BRxM解：qLRLEIdxRxMEIxMfBLBB83143qRBBx（3）建立变形协调条件并确定BR由于B点实际为一活动铰，故0Bf即：083143qLRLEIBRLRB83（所求数值为正，说明RB的实际作用方向与假设方向一致）总结：同叠加法比较，利用卡氏定理求解fB要比用叠加法求fB要简单，尤其在作用较多载荷时，故一般情况下，建议采用该种方法来求解弯曲静不定问题。目录§11-3用力法解静不定系统一．力法及正则方程的概念举例说明：曲杆如图a所示，试求支座B的约束反力44PABOa4PABO1X4PABOP14ABO1X1X4ABO11144PABOa解：（一）建立基本静定系如图b所示。（二）将静定系分解成图C和图e两种情况的叠加若B点的竖向位移用1表示，则：1111XP——（1）如图d所示，若以11单位力时的竖向位移，因在线弹性范围内，位移与力成正比，故表示曲杆在B点处作用垂直向上的1X是单位力的1X倍，相应地11X也应该是11的1X倍，即：11111XX——（2）代（2）入（1）式可得：11111XP——（3）（三）建立变形协调条件，并确定1X因B点原为一活动铰支座，故01即：01111XP——（4）从而：1111PX式（4）所表示的标准式的方程式即为力法的正则方程，而上述的解题过程中以“力1X”为基本未知量，由变形协调条件01建立补充方程01111XP的方法称为力法。二.典型例题分析：例11—1：图a所示为经过加固的桥式起重机大梁的计算简图，若作用于一根大梁上的吊重为P，试求水平拉杆CD因P而增加的内力。、（三）求P111dxEANNdxEANNdxEIMMLLLP1011001由于：N=0，N1=0，且AC、BD段0xM故：dxEIMMLP01——（1）（一）建立基本静定系如图b所示。01N（二）作出仅在P力作用下的弯矩图M图及仅在单位力作用下的AB梁的M0图及N0图和CD杆的图。解：lLEIPelellllplplEI2822222142111212101000001111111AAIeEEAEALEILedxEANNdxEANNdxEIMMLLL——(2)（四）建立正则方程：1.因CD杆为一连续杆，故01，从而正则方程应为：01111XP代入结果（1）（2）得：12211182AAIeIlLPeX讨论：上式分母中的第2项A1下，因为梁轴力的影响，一般情况111AA大的影响。，故将其省略并不会对结果产生很例11—2：计算图a所示桁架各杆的内力，设各杆的材料相同，截面面积相等。（二）求出基本静定系分别在P及单位力作用下的各杆轴力及有关数据见下表。（一）建立基本静定系如图b所示。以4杆为多余约束，假设将其切开，并代以多余约束力1X解：杆件编号NiNi0LiNiNi0LiNi0Ni0LiNiP=Ni+Ni0x11-P1a-Paa-P/22-P1a-Paa-P/2301a0aP/2401a0aP/25600P222a2a2Pa22)222(Paa22a22)21(4a2/P2/P（三）应用莫尔定理求P111EAPaEAlNNiiiiP21201EAaEAlNNiiii2140011——（1）——（2）（四）建立正则方程：因4杆为一连续杆，故正则方程应为：01111XP代入结果（1）（2）得：21PX由于10XNNNiiPi故可将1X及表中的有关数据代入即可求得各杆轴力。附：多次静不定系统的正则方程：举例说明：例11—3：图a为一二次静不定梁，试求其正则方程：PB)(a（二）求P1P211122221具体结果可根据莫尔定理或卡氏定理求得。P1P211122221的物理意义分别如图c、d、e所示，（一）建立基本静定系如图b所示：解：P2X1X)(bPP1P2)(c1121)(d11222)(e1（三）确定正则方程：如图c、d、e所示：PXX12121111B点沿X2方向的位移：PXX22221212B点沿X1方向的位移:根据约束B的特点：021故：——所求的正则方程01212111PXX02222121PXX上述方程组可写成矩阵的形式：0212122211211PPXX根据位移互等定理，容易证明：1221故上述矩阵中独立的系数只有4个，而系数矩阵本身则为一对称矩阵。注：根据上述原理可以将力法推广到n个多余约束的静不定系统，此时的正则方程应为：0.......................................................................................................................................0.......221111212111nPnnnnnPnnXXXXXX矩阵形式为：0............................................................2121212222111211nPPPnnnnnnnXXXMMNNPABAB3APPCoAMAN由对称性知：A、B截面上剪力为零解：R0120PPPPPPBAPPPCBAMANBMBN变形协调条件:A0例11—4：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。APPCo1APPCoAMANMMPRMMMEIsMPREIRREIMPRMPRPRAAsAAA()(cos)()(cos).÷÷31131333320333201000003ddR0120PPP由弯矩方程：知最大弯矩发生在即截面其值为MMPRPRPRPRCMPRPRPRA()(cos)(cos)cos,,,cos.max31333231332060603323236018960例11—5：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态，已知q、R与EI=常数，试求A截面的剪力、弯矩和轴力。QqRMNAAA,,00解：例11—6：平面框架受切向分布载荷q作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。解：QqbMNAAA,,00思考题11—1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆EI=常数。思考题11—2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中点的挠度。思考题11—3：求图示刚架的支反力。思考题11—4：等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、Ｂ、Ｃ三处的约束力。思考题11—5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。谢谢大家!目录