根据张宇高数视频总结的考研数学知识点

2222()ln(1)1(,)|100.cos010.2sincos2cossin(,)sin2sincos2sincossin2.DyxyxIdxdyxyDxyxyxyxrryrxxrrJryyrrrr计算二重积分，其中，，解法1：由知，可用极坐标计算该二重积分。令，其中，由于D区域的图形2120021200212200ln(1tan)=(,)1ln(1tan)sin21ln(1tan)sin2.1rJrdrdrrrdrdrrddrr原式智能手机推荐(1tan)sin2.1ln(1tan)sin212lnsincoscos2lncossincosrddrrddd于是分别只需计算和即可220120122001011010sin212ln(1sin)sin(sin)=2ln(1)ln(1)(1)lnln(ln)101.|txtdttdttdtxdxxxxdxxdxx令令210220114201530211,21(1)22(21)122()538162.15151616=1=.1515|trrtdrtdtrdrrttdttttdtttt令则综上所述，原式2()ln(1)()ln(1)=11()ln(1)()ln(1)211()[ln(1)ln(1)]1DDDDDxyxyxyxyyxIdxdydydxxyxyxyxyxyyxIdxdydxdyxyxyyxxyxydxdyxy解法：首先由于与具有轮换对称性，故有211110000111100()()ln1()ln()()ln2211()ln()=ln11ln=ln11DDDxxxyuxxxxyxyxydxdyxyxyxyxyxdxdydxdyxyxyxyxyxyIdxdyxdxxyxyuuuIdxduxdxduuu令视为常数于是得11000021100021100210lnln11lnln11ln(ln)1116.151uuuuuuIdudxduxdxuuuuududuxdxuuuuuduuuuduuuuduu变换积分次序，得：622623262222362222222222322(1)()113(1)3(1)(1)13=3(1)(1)(1)(1)13=3(1)(1)(1)13112ln321(1)xdxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxxdxxx一道不定积分的解答：解：将被积函数分子用泰勒公式在处展开，得于是故原式222222222221(1)1222,1,1,111(1)11(1)(1)(1)112()()22(1)11()8dxxxttxxdxdtxtttdxdxxxxttdttttdtt对于不定积分作一次变换，令则2232112(1)811(2ln)81111(2ln)811111ln2(1)41151=2ln+.3412(1)dtttttCtxxxCxxxxxCxxxxxxCxx故原式722226322223222222222(1)1,(1)2.11(1)=(1)2(1)21331131(3)221331ln42221331(1)(1)ln1.4222(1)xdxxtxdtdxxdxxtdxdtxttttdttdtttttttCtxxxCx与之类似的一道不定积分的题目求不定积分解：令则故原式5222224222222425353122222211,1.(1)22.1=(1)211(1)2(1)2(21)125312(1)(1)(1).53xdxxtxtxdxxdxtdtxdxxttdttdttttdttttCxxxC同理可知，不定积分的求解过程与之类似，令则则原式7771(),11(),()1(1)11.7(1)nnnRxdxtxxRtdtRxntxdxtxxxtdttt有理函数不定积分求法之换元法：计算有理函数的不定积分时，要充分利用换元法，特别地，形如均可以通过令化为其中是某个有理函数。例计算时只需令即可化为33.(sin,cos)cos(sin,cos)(sin,cos),sin.coscos,(sin,cos)=sinsincossin.()RxxxRxxRxxtxxxdxRxxxxxtx具有某些特点的三角函数的不定积分的简便算法1如果是关于的奇函数，即那么可设例求不定积分由于是关于的奇函数，则可设求解在解题时不一定要“设”，但是要懂得“凑”微分即可44332.(sin,cos)sin(sin,cos)(sin,cos),cos.cotsincotsin,(sin,cos)=coscossincos.RxxxRxxRxxtxxxxxdxRxxxxxtx如果是关于的奇函数,即那么可设例求不定积分由于是关于的奇函数，则可设求解22443.(sin,cos)sincos(sin,cos)(sin,cos),tan.sin+1sin+1,(sin,cos)=coscossincostan.RxxxxRxxRxxtxxxdxRxxxxxxtx如果既是关于的偶函数,又是关于的偶函数，即那么可设例求不定积分由于既是关于的偶函数，又是关于的偶函数，则可设求解2224.sincos,21(,),cossincossinsincos(1cos)cos(cos)(1).nmnmkmkmkmxxmnmnnkkNmRtxxxdxxxxdxxxdxttdt被积函数是其中与的取值决定了这类不定积分可以分为两种情况讨论：：如果与至少有一个是奇数，不妨设则可设即可.433334sinsincos.cos:1cos21cos21sin,cos,sincossin2.222xdxxxdxxnmxxxxxxx例求不定积分如果与都是偶数，可由三角公式：将被积函数降幂，从而化简被积函数.sinsin,sincos,coscos1sinsincos()cos()21sincossin()sin()21coscoscos()cos().2mxnxmxnxmxnxmxnxmnxmnxmxnxmnxmnxmxnxmnxmnx5.如果被积函数是的形式，则可使用积化和差公式.22(),()().sgn.sgn(sin)arccos(cos).(0).2(1)(21)(0).2121(1)arcos(cos).xaxfxabfxdxftdtCxdxxCxdxxCxxxdxxxxCxxxxxxxdxxCdxxC关于用变上限积分求不定积分的应用举例思路：若在上可积，则例1：例2：例3：例4：例5：22221coth.();();1();1(coth).xxxxxxxxxxxxeeshxeechxshxeethxchxeechxeexshxthxeeshxchxchxshxthxchxxshx各种双曲函数及其反函数：双曲正弦函数双曲余弦函数双曲正切函数双曲余切函数双曲函数的导函数之间的关系为：22,(0),ln(1)ln(1)11ln.21yshxychxxythxyarshxxxyarchxxxxyarthxx双曲函数的反函数依次记为：反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切11112122(),()().()()(())..(),ln(1),(),(())1,=1.yfxfxdxFxCfxdxxfxFfxarshxdxfxshxarshxxxFxchxFfxxarshxdxxarshxxC应用反函数求不定积分：定理1设函数具有连续的反函数且则有例1求不定积分解：取那么由定理1知:1111222112()().()(),()01(),2,3,4,.(())1(1)1=arctan.()arctan,1()tan,(())sec.kkfxdxFxCFxxFyFyfxdxdykFydxxdxxCyFxxxxFyyFyxy定理2设又具有连续可导的单值反函数且，则有其中例1求不定积分解：由于取即则故由定理2知2221211=cossin2.(sec)241arctan.22(1)ydxydyyCyxxCx：原式421124121233secsec=tan.()tan()arctan.1(()).11sec=[(())]1(1)31tantan.3xdxxdxxCyFxxxFyyFyyxdxdyFyydyyyCxxC例2求不定积分解：由于取则于是由定理2知：222222(),sin,,;22(),tan,,;22(),sec,0,.2iaxxattiiaxxattiiixaxatt常见的三角换元：对于设对于设对于设2224(1)axdxaxaxtaxaxtdxadtaxt一道分式积分题目的不同求解方法：求不定积分解法一：直接通过代换去掉根式，从而化为。2222222222,cos(0)cos1cos1cos=cos1cos(1cos)sincot.1cos2=cotsin2cos.22=axaxattaxaatttaxaattttttttatdtadtaxaxaxdxdxdxaxaxax解法：由于于是可令则原式解法3：将分子有理化，分子分母同时乘以则原式sincossinsinsin1.sinsin,sinsinsin[(1)]sincos(1)cossin(1).sin(1)sin((2))sincos(2)cossin(2).nnxnxdxdxxxnxdxxnxIdxxnxxnxxnxxnxnxxnxxnxxnx不定积分和的计算求不定积分解：递推关系式为设由于2sincossin(1)cos(1)sinsinsin(1)cossin(2)coscos(2)1sinsin(1)sin(2)coscos(2)sinsin(2)1sinsin()sincoscos2()nnxxnxIdxnxdxdxxxnxxnxxnxdxdxnxnxnxxnxdxxnxdxdxnxmnxmxnxdxmn由于2()2()sin()sin()sinsin2()2()2sin(1)=.1nnmnmnmnxmnmxnxdxmnmnnxIIn