9.1 空间几何体的三视图、表面积与体积汇总

第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科) 第九章直线、平面、简单几何体第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)§9.1空间几何体的三视图、表面积与体积 一、简单几何体的结构特征简单几何体主要是指柱体、锥体、台体、球或几个几何体知识诠释思维发散第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)的组合体.其中棱柱、棱锥是考试的重点.棱柱是有上下两个平行平面,其余各面是相邻交线互相平行的平行四边形的几何体;棱锥是有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体,台体是用平行于底面的平面去截锥体,截面与底面之间的部分.二、空间几何体的投影、直观图、三视图1.平行投影的投射线都是互相平行的,中心投影的投射线是第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)由中心一点发出的.2.根据斜二测画法作空间几何体的要点是:与y轴、z轴平行或重合的直线方向不变,长度变为原来的一半,而与x轴平行或重合的直线方向、长度都不变.3.三视图是几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图的统称.三视图之间的规律是:正俯长对正,正侧高平齐,俯侧宽相等.三视图的摆放为正侧视图水平对齐,正俯视图竖直对齐.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)画三视图时要注意线的实、虚分明.三、简单几何体的表面积(或全面积)和体积1.设圆柱的底面半径为r,母线长(即高为h)为l,则其侧面积为2πrl,全面积为2πrl+2πr2,体积为πr2l.2.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则其侧面积为πrl,全面积为πrl+πr2,体积为 πr2h.13第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)3.如果圆台的底面半径分别为R,r,母线长为l,高为h则其侧面积为π(r+R)l,全面积为π(r+R)l+πr2+πR2,体积为 π(r2+rR+R2)h.4.棱柱,棱锥,棱台的体积公式分别为Sh, Sh, h(S+ +S').5.设R为球半径,则球的表面积公式为S=4πR2,体积为 πR3.131313'SS43第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)说明:对柱体、锥体、台体而言,表面积包括底面积和侧面积;对每个计算公式的理解和应用应与它们的侧面展开图统一起来.关于体积,柱体是底面积乘高,锥体是底面积乘高还要乘以三分之一.关于球的表面积和体积的问题关键是在于对球半径的求解.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)1.如图所示,一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个直径为2的圆,则这个几何体的全面积为 ()第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科) (A)2π.(B)4π.(C)6π.(D)8π.【解析】由三视图知该空间几何体为圆柱,所以其全面积为π×12×2+2π×1×2=6π.【答案】C第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)2.某几何体的俯视图是长为8、宽为6的矩形,正(主)视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧(左)视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为()(A)24.(B)80.(C)64.(D)240.【解析】由题可知,该几何体为四棱锥.其底面是长为8、宽为6的矩形,棱锥的高为5.所以V= ×8×6×5=80.13【答案】B第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主)视图如图所示,则其表面积等于.【解析】由正(主)视图可知此三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形,且此三棱柱的高为1.所以三棱柱的两个底面积和为2× ×4=2 ,侧面积为3×2×1=6.所以其表面积为6+2 .【答案】6+2 34333第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)核心突围技能聚合题型1几何体的侧面展开图第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科) 例1如图,在侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF分别交VB、VC于点E、F.求截面△AEF周长的最小值.【分析】一般来讲,求截面的周长或有关线段的长,都必须利3第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)用化曲为直的方法转化为平面问题来处理.这里我们可以将该棱锥体沿某条相关的棱剪开并平铺.【解析】将正三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,使其侧面展开图平铺在一个平面上,如图.则AE+EF+FA=AE+EF+FA1,因为AE+EF+FA1≥AA1,线段AA1(即A,E,F,A1四点共线时)的长即为所求△AEF周长的最小值.作VD⊥AA1,垂足为D,由VA=VA1,知D为AA1的中点.由已知∠AVB=∠BVC=∠CVA1=40°,得∠AVD=60°.在Rt△AVD中,AD=VAsin60°=2 × =3.即AA1=2AD=6.所以截面△AEF周长的最小值为6.332第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)【点评】求有关几何体表面上两点间的最小距离:(1)将几何体沿着某棱剪开,画出其侧面展开图;(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题;(3)结合已知条件求得结果.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)变式训练1已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一动点,如图所示,则CP+PA1的最小值为.【解析】PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转化为平面上的问题解决.计算A1B=AB1= ,BC1=2,又A1C1=6,故△A1BC1是∠A1C1B=90°的直角三角形.铺平平面A1BC1、平面BCC1,如图所示,240第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)CP+PA1≥A1C.在△A1C1C中,由余弦定理得A1C= = =5 ,故(CP+PA1)min=5 .226(2)262cos1355022【答案】5 2第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)题型2三视图与直观图 例2已知正三棱锥V-ABC的正(主)视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2 ,求该三棱锥的表面积.3【分析】根据正(主)视图、俯视图画出直观图,利用相关数据先求出直观图中的斜高,再求表面积.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)【解析】由正(主)视图、俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示.由题可知,VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2 .取BC的中点D,连接VD,则VD⊥BC,有VD= = = ,则S△VBC= VD·BC= × ×2 = ,S△ABC= ×(2 )2× =3 ,所以正三棱锥V-ABC的表面积为:322VBBD224(3)13121213339123323第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)3S△VBC+S△ABC=3 +3 =3( + ).【点评】把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合起来进行考查是高考的一个热点,解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它还原为直观图.特别要注意从三视图中得到正确的几何体的相关量,如本题的正(主)视图中AB的长度并不等于2 ,其视图实际上是直观图中AD,而俯视图中的AB长度才等于2 .否则,计算就会出现问题.39339333第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)变式训练2如图所示,在下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ()(A)①②.(B)①③.(C)①④.(D)②④.【解析】正方体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都是正方形;圆锥的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次是三角第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)形、三角形和圆;三棱台的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都不相同;正四棱锥的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为三角形、三角形、正方形.【答案】D第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)题型3几何体的表面积或体积 例3如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5cm2、1cm2、3cm2.求三棱锥O-ABC的体积.【分析】根据几何体的结构特点,本小题可采用等体积法.从A、B、C中任取一点为三棱锥的顶点,另外三点所在的平面为底面求体积.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)【解析】设OA、OB、OC的长依次为xcm、ycm、zcm,则由已知可得 xy=1.5, xz=1, yz=3.解得x=1,y=3,z=2.121212显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,OAB为底面,易知OC为三棱锥C-OAB的高.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)于是VO-ABC=VC-OAB= S△OAB·OC= ×1.5×2=1(cm3).【点评】等体积变换法:从不同的角度看待原几何体,通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理,来求原几何体的体积.1313第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)变式训练3一等边圆锥(轴截面为正三角形)内接于一球,若圆锥底面半径为r,求该球的体积和表面积.【解析】如图,设圆锥的轴截面截球面为大圆O,S为圆锥的顶点,SC为轴,又设球半径为R.SC的延长线交大圆O于M,第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)由△MCA∽△ACS,得 = ,即AC2=SC·CM,由AC=r,则SC= r,CM=2R- r,故r2=( r)(2R- r),所以R= r,由球的体积公式和表面积公式,得V= πR3= πr3,S=4πR2= πr2.ACSCCMAC33332334332327163第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)1.需要明确几何体的结构特征与其侧面展开图之间的统一性,对求侧面积和求线段长的最值有着必然的联系.所以对一些常见的几何体的侧面展开图应该熟悉.2.把握好三视图与直观图之间的转化,学会读图绘图.熟悉三视图的规则和斜二测画法规则.3.对于几何体的表面积和体积的计算,一是公式不能用错,二是计算一定要仔细.因为这类题型本身考查的就是计算能力.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)  例如图所示,在下列条件中,能推断该几何体是三棱台的是.①A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4;②A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3;③A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4;④A1B1=AB,B1C1=BC,A1C1=AC.第九章9.1空间几何体的三视图、表面积与体积高考第一轮复习用书·数学(文科)【错解】因为台体是由锥体用平行于底面的平面所截而得到的,所以要使这个几何体为台体,只需A1B1∥AB,B1C1∥BC,A1C1∥AC.由所给条件知③、④满足,故填③④.【剖析】本题的错因在于对概念的内涵把握不准,判断一个几何体是否为台