高数上总复习

1复习五大部分内容：一、函数与极限二、导数与微分三、微分中值定理与导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用2注1：试卷内容覆盖教材中第一章至第六章，主要测试学生对一元函数的微积分、微分方程的基本思想、基本理论及计算技巧的掌握情况。注2：课本中带有星号＊的内容不考；另外不考的内容有：第二章第四节中的相关变化率、第二章第五节中的微分在近似计算中的应用；第三章第七节曲率以及第八节方程的近似解；第六章第三节定积分在物理学上的应用。3一、函数与极限基本要求1、掌握极限四则运算法则，掌握用两个重要极限公式求极限的方法，了解无穷小量及其性质，会进行无穷小量阶的比较和等价无穷小替换。2、理解函数在一点连续与间断的概念。掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解和掌握闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理、介值定理）及其应用。4i）函数极限存在的充要条件。注：在讨论某一函数在点x0处的极限，而该函数在点x0处左右两边的表达式不同时，一般都要用这个结论。ii）极限的性质函数极限的唯一性、函数极限的局部有界性、函数极限的局部保号性、函数极限与数列极限的关系iii）极限存在的准则1）夹值同限原理（夹逼准则）2）单调有界原理000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA1、函数极限5,0limCk定义.,0lim若则称是比高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若~~,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作2、无穷小及无穷小的比较63、函数的连续性与间断点f(x)在点x0连续0000limlim[()()]0xxyfxxfx00lim()()xxfxfx间断点:设f(x)在点x0的某个去心领域内有定义，若函数f(x)有下列情形之一：（1）在x=x0没有定义；（2）虽在x=x0有定义，但不存在；（3）虽在x=x0有定义，且存在，但则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。0lim()xxfx0lim()xxfx00lim()()xxfxfx74、闭区间上连续函数的性质1）（有界性与最大值、最小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值与最小值。2）（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a).f(b)0)，则在开区间(a,b)内至少有一点，使得()0f3）（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。()()fCab85、极限的计算方法1）利用函数的连续性2）利用极限的四则运算法则3）利用“无穷小与有界函数的积仍是无穷小法则”。若，函数在点x0的某去心邻域内有界，则4）利用“等价无穷小替换定理”设存在，则5）利用“夹逼准则”6）利用“单调有界数列必有极限准则”。7）利用两个重要极限0lim()0xxfx()gx0lim()()0xxfxgx'''',,lim''limlim9常用等价无穷小:xsin～;x～xcos1～;221x～xarcsin～;x～1xe～;x～1)1(x～;x10例11)2)BB114ln(1)02)lim(1sin)xxx例2求下列极限sin1)limnnxn30sintan4)lim[ln(1)]xxxx10213)lim()1xxxx12极限运算法则P451(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)4,5极限存在准则及两个重要极限P521(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(2),(3)无穷小的比较P553;5(2),(3),(4)函数的连续性与间断点P614;5连续函数的运算与初等函数的连续性P663(5),(6),(7);4(4),(5),(6);6闭区间上连续函数的性质P702;3;5习题课P711、2、3、4、9(2),(3),(6);10;11;12;1313二、导数与微分基本要求：1、理解导数的概念并能熟练利用导数的定义求解一些特殊形式函数的极限；2、了解导数的几何意义与物理意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系；3、掌握求导数的基本公式及四则运算法则、复合函数的求导方法、隐函数及由参数方程所确定的函数的各阶导数的方法；4、会求函数的微分。14一、导数的定义1、函数在一点处的导数：'00000000()()()limlim()()limxxhfxxfxyfxxxfxhfxh2、导数概念是函数变化率的精确描述。3、若极限不存在,则称函数在处不可导。'00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx0x'0()()limxfxxfxyx154、单侧导数右导数左导数定理函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。)(xf0x)(0xf)(0xf'0000()()()limxfxxfxfxx'0000()()()limxfxxfxfxx5、导数的几何意义.导数在几何上表示:曲线在点处的切线的斜率，即（其中是切线的倾角）6、可导与连续的关系.定理如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。)(0xf)(xfy))(,(00xfxM切Kxf)tan()()(xfy)(xfyx016二、反函数的导数等于直接函数导数的倒数三、复合函数的求导法则1''11[()]()dyfxordxfydxdy[()]yfgx''()()dydydydufugxordxdxdudx四、求隐函数导数的方法1、直接求导法2、对数求导法：常用求由多个因子的积、商、幂或根式组成的函数或幂指函数的导数。幂指函数()()(()0)vxyuxux3、用反函数的求导法则求之。17六、由参数方程所确定的函数的导数1、由参数方程所确定的函数的导数的求法定理设函数由参数方程确定,若有反函数,与均可导且,则即2、若、还是二阶可导的,则)(xyy)()(tytx()xt)(t()t0)(t()()dytdxtdydydtdxdxdt()xt()yt223()()()()()dyttttdxt18()yyx2xyxy()yyx0xdy例4设函数由方程所确定，求函数在处的微分。例1设0()fx2000(())()lim.xfxxxfxx存在,求221arccosxexy例2设，求d.dyx例3已知222d1xxxexedy=2ln(1),xye则——————19例51)2)C23)22xyxyxyedxxe4)5)20例6.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得0eyxyyy再求导,得2eyyyxy)(e02y②当0x时,,1y故由①得e1)0(y再代入②得2e1)0(y求①P1231121例7.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示:分别用对数微分法求.,21yy答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx22导数概念P836,7,8,11,16(2),18,19函数的求导法则P942(2),(8),(10);3(2),(3);6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(3),(8),(10);14隐函数和参数方程求导P1081(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);函数的微分P1201;3(4),(7),(8),(9),(10);4;习题课P1221,2,3,6;7;8(3),(4),(5);9(2);11;12(2);1323三、微分中值定理与导数的应用基本要求：1、掌握几个微分中值定理的条件和结论及其应用；2、会用洛必达法则求常见不定式的极限；3、会利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间，进而用来证明一些不等式问题，掌握求函数极值和最值的方法；4、会判定曲线的凹凸性，并求出凹凸区间，会求曲线的拐点。24（一）微分中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（二）洛必达法则（三）泰勒公式（四）函数的单调性、曲线的凹凸性、拐点函数的极值、最大值、最小值（五）函数图形的描绘251、罗尔定理若函数满足：（1）在闭区间[a，b]连续；（2）在开区间（a，b）可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即则在（a，b）内至少有一点使得()fx()()fafb()ab'()0f262、拉格朗日中值定理若函数满足：（1）在闭区间[a，b]连续；（2）在开区间（a，b）可导；则在（a，b）内至少有一点使得()fx'()()()()fbfafba()ab273、柯西中值定理若函数及满足：（1）在闭区间[a，b]连续；（2）在开区间（a，b）可导；（3）对任一则在（a，b）内至少有一点使得()fx''()()()()()()fbfafFbFaF()ab()Fx'(,),()0xabFx28定理1设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在且（3）存在（或为无穷大）则xa()fx()Fxa'()fx'()Fx'()0Fx''()lim()xafxFx''()()limlim()()xaxafxfxFxFx的未定式的情形：xa00（二）洛必达法则未定式：00,00,0,,,10,29（三）函数的单调性与曲线的凹凸性1、函数单调性的判定法定理设函数在[a，b]连续，在（a，b）可导1）若在（a，b）内则函数在[a，b]上单调增加；2）若在（a，b）内则函数在[a，b]上单调减少。()yfx()yfx()yfx'()0fx'()0fx30定理2设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则1）若在内，则在上的图形是凹的；1）若在内，则在上的图形是凸的。()fx()fx()fx[,]ab(,)ab(,)ab(,)ab[,]ab''()0fx[,]ab''()0fx2、曲线的凹凸性与拐点31定理2（第一充分条件）设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导。1）若时，，而时，则在处取得极大值；2）若时，，而时，则在处取得极小值；3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值。0x0x0x0x()fx00(,)Ux00(,)xxx00(,)xxx00(,)xxx'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx()fx()fx00(,)xxx00(,)xUx'()fx()fx0x32定理3（第二充分条件）设函数在处具有二阶导数，且则1）当时，函数在处取得极大值；2）当时，函数在处取得极小值。()fx0x''0()0fx''0()0fx()fx()fx0x0x'''00()0,()0fxfx注1）若在驻点处的二阶导数，则该驻点一定是极值点。2）若函数在驻点处的二阶导数为0，则还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定。()fx0x''0()0fx0x()fx33函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：1、确定函数的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和