高数上有理函数的不定积分

3.2.5有理函数的不定积分一、有理函数mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR122110122110)()()()(xR叫有理函数，它是两个实系数多项式之商所表示的函数。例如：32xx，3)1(13xxx，12214xxx都是有理函数。1.有理函数的分类)(xR按分子与分母的最高次幂nm与的不同情况可分为：（1）当mn时，)(xR称为真分式；（2）当mn时，)(xR称为假分式。若)(xR是假分式，可把它化为多项式与真分式之和。例如6531659242223xxxxxxxxx。2．把真分式分解为部分分式设)()(xQxP为真分式。（1）分母)(xQ中若有因式kax)(，则分解后有下列k个部分分式之和：特别地，当1k时，则分解后有axA。,)()(221kkaxAaxAaxA其中,,21kAAA都是常数。kkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()(22222211特别地，当1k时，则分解后有qPxxNMx2。（2）分母)(xQ中若有因式kqpxx)(2，其中042qp，则分解后有下列K个部分分式之和：其中,,21kMMM；,,21kNNN都是常数。例如真分式22322)32()2)(1(13xxxxxx的分母中含有2x，)1(x，3)2(x，22)32(xx，故其分解式为下列八个部分分式之和：332211221)2()2(21xCxCxCxBxAxA2222211)32(32xxExDxxExD例1．求dxxxx6532解：23)2)(3(3)04(65322xBxAxxxqpxxx，,)2)(3()3()2(6532xxxBxAxxx),3()2(3xBxAx下面用两种方法确定系数BA和。（1）赋值法令2x，得B5，5B，令3x，得A6，6A。（2）比较法,32)()3()2(3BAxBAxBxAx563321BABABA∴25366532xxxxx∴dxxxx6532Cxx2ln53ln6dxxx)2536(.)2()3(ln56Cxx例2．求dxxx2)1(1解：22)1(1)1(1xCxBxAxx，,)1()1(12CxxBxxA令1x，1C，比较2x项的系数：0BA，1B。∴22)1(1111)1(1xxxxx，.111ln])1(1111[)1(122Cxxxdxxxxdxxx令0x，1A，例3．求dxxxxx)22)(2(22解：22)2()22)(2(222xxCBxxAxxxx，)2)(()22(22xCBxxxAx，令0x，)(20CA，2C；比较2x的系数，1BA，1B。∴22222)22)(2(222xxxxxxxx，令2x，A24，2A；dxxxxxdxxxxx)22222()22)(2(222dxxxdxxxxx2212222212ln22222221)1()1(22)22(212ln2xxdxxxxdxCxxxx)1arctan(22ln212ln22.)1arctan(22)2(ln22Cxxxx3．有理函数的积分步骤：①若有理函数)(xR是假分式，则通过除法将)(xR化为多项式与真分式之和，否则可省去这一步。②将真分式分解为部分分式之和。③求多项式和各部分分式的积分，再相加即得所求之有理函数的积分。有理函数的积分是积分学中解决得最完善、最彻底的部分。真分式的积分可以变换成部分分式的积分，而部分分式的积分可以归结为以下四种类型的积分：(1)dxaxA；(2))1()(ndxaxAn；(3))04(22qpdxqpxxNMx；(4))041()(22q,pndxqpxxNMxn。前面三种积分都比较容易，已在上面例题中介绍了它们的解法，最后一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式，这里不再讨论它的解法。上面介绍的是有理函数积分的常规方法，在具体解题时，应优先考虑其他简便方法。②dxxx202)1(Ctttdtttt17181918192017191191)121(.)1(171)1(91)1(191171819Cxxxdttttdtttdtdxtx20220221)1(,1令例4.求下列积分：.8ln318)8(31333Cxxxd①dxxx832二、三角函数有理式的积分由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数称2．半角代换法令tx2tan，则txarctan2，dttdx212，212sinttx，2211costtx，为三角函数有理式，可用)cos,(sinxxR表示。∴dttttttRdxxxR222212)11,12()cos,(sin。1．三角函数有理式dxxxR)cos,(sin可用半角代换法化为有理函数的积分。例5．求dxxxx1cossincot解：令tx2tan，则dttdx212，212sinttx，dxxxx1cossincotdtttttttt22222121111221]t1[21dtdtdttt21.]2tan2tan[ln21][ln21CxxCtt,21cot,11cos222ttxttx（1）dxx2cos11（2）dxxxsin1sinxdxdxxxdxxxx222tancossincos)sin1(sinCxxxdxxdxxxtansec)1(sectansec2Cxxdx)2tanarctan(21)(tan)22(tan1尽管半角代换在理论上很重要,但是计算量较大,并不简便。例6．求下列不定积分dxxx)1(seccos122对初等函数来说，在其定义区间上它的原函数一定存在，但有些原函数不一定是初等函数，例如：dxex2，dxxxsin，xdxln，dxx31，dxx)sin(2，)10(sin12kdxxk，dxx411等。我们称这些积分是“积不出来的”。有理函数的不定积分是可以积出来的，即有理函数的原函数都是初等函数，其原函数是有理函数、对数函数、反正切函数。作业习题七（P174）1（1）（2）（3）（5）；2；3；4；5（2）（4）；6（1）。