高数换元积分法的课件

11.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质复习§4-1不定积分的概念与性质2二、第二类换元法一、第一类换元法§4-2换元积分法3第二类换元法第一类换元法基本思路设,)()(ufuF可导,CxF)]([)(d)(xuuuf)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有复合函数求导4一、第一类换元法定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式uufd)()(xu()d()fxx(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)5注：①定理说明：若已知CuFduuf)()(则CxFdxxxf)]([)()]([因此该定理的意义就在于把CuFduuf)()(中的u换成另一个x的可微函数)(x后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性故扩展了基本积分表的适用范围dx②由定理可见，虽然dxxxf)()]([是一整体记号，但可把视为自变量微分)()(xddxx——凑微分6凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx注：形式不一样，实质差常数222cossincosxxx722)(1d1axxa例2.求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1联想公式21duuCuarctan例2-例4类型相同8例3.求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2)(1)(daxax9例4dxxa221解dxxa221dxxaxa))((1dxxaxaa]11[21Cxaxaa|]|ln||[ln21Cxaxaa||ln21注：拆项是常用的技巧10例5.求解:xxxdcossinxxcoscosdcosdsinxxxxxsinsind类似例5-例6类型相同11例6求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln.)cotln(cscCxx（使用了三角函数恒等变形）12解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx13dxxxxxxcotcsccotcsccsc2)cot(csccotcsc1xxdxxCxx)cotln(cscCxx)cotln(csc类似地可推出.)tanln(secsecCxxxdxdxxxdxcos1sec)2()2sin(1xdxCxx)]2cot()2ln[csc(Cxx)tanln(sec解（三）xdxcscdxxxxxxcotcsc)cot(csccsc14常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosdxxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd15例7求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.16例8求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx积化和差17例9求.12321dxxx原式dxxxxxxx123212321232dxxdxx12413241)12(1281)32(3281xdxxdx.121213212133Cxx解分母有理化182411.xdxx例10求222111xdxxx22112dxxxx21122arctanxCx凑微分配方19解例11设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf20例12求解:原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2xxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf)()(xfxf21第一类换元法常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如22二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([()dfuu)(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，()dfuu23CxF)()()]([)(ttft定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt证:的原函数为设)()]([ttf,)(t令])([)(1xxF则)(xFtddxtdd)()]([ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)]([1Ct][)(1xt)(1d)()]([xttttf则有换元公式24例1.求.)0(d22axxa解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sin0cosatttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xataxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22取单调区间25例2.求解:令,),(,tan22ttax则22222tanataax0secatttaxdsecd2∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22axtln22xaa)ln(1aCCxa1C取单调区间26例3.求解:,时当ax令,),0(,sec2ttax则22222secataax0tanatxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt22axt1lnC)ln(1aCC22axaxa取单调区间27,时当ax令,ux,au则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC28说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax注：所作代换的单调性。对三角代换而言，取单调区间即可。29说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.221chshttsh,chxatxat也可以化掉根式例中,令dxax221taxsinhtdtadxcoshdxax221dttatacoshcoshCtdtCaxarsinh.ln22Caaxax30说明(3)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例求dxxx251（三角代换很繁琐，采用根式代换）解21xt令,122tx,tdtxdxdxxx251tdttt221dttt1224Cttt353251.1)348(151242Cxxx31.1tx说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例求dxxx)2(17解令tx1,12dttdxdxxx)2(17dtttt27121dttt7621Ct|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx32说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntxn例求.)1(13dxxx解令6tx,65dttdxdxxx)1(13dtttt)1(6235dttt2216221161tdttdtt21116Ctt]arctan[6.]arctan[666Cxx33第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch后讲,d)()6(xafxxat令(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换34基本积分表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa35;ln211)22(22Cxaxaadxxa;arcsin1)23(22Caxdxxa.)ln(1)24(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax36解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC例1.求例2.求解:223)2()2(d21xxICxx942ln21237小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)38作业P2371(17,23,31)2(6,9,10)3(5)P368(1-22)背公式