机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

2020年1月29日《振动力学》15.10多自由度系统的阻尼2020年1月29日《振动力学》2任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。2020年1月29日《振动力学》3有阻尼的n自由度系统的强迫振动方程为：nRq阻尼矩阵元素cij阻尼影响系数物理意义：是使系统仅在第j个广义坐标上产生单位速度而相应于第i个坐标上所需施加的力阻尼力为广义速度的线性函数表示为：jnjijdiqcQ1阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵)(tFqKqCqM2020年1月29日《振动力学》4有阻尼的n自由度系统的强迫振动方程为：)(tFqKqCqMnRqΛ假定无阻尼系统下的正则模态矩阵u及其模态刚度矩阵作坐标变换：uηq)(tTTTTFuuηKuηuCuuηMu有：即：)(tpNΛηηCηuCuCTp其中：模态阻尼矩阵虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩阵一般非对角阵，因而正则坐标η下的强迫振动方程仍然存在耦合。2020年1月29日《振动力学》5111102111u00000000cCcccccccccTPuCuCmmm000000MmmmT300020006uMukkkkkkk30203KkkkT1200060006uKu非对角矩阵例如：三自由度系统c2kmmmk2kkx1x2x32020年1月29日《振动力学》6若非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。PC为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法。（1）将矩阵C假设为比例阻尼假定C有下列形式：KMCbaa,b：为常数代入uCuCTp中ΛIuKMuCbabaTp)(对角阵nitNηηcηiiPi~1),(2或运动方程变为：)(tpNΛηηCη2iPibac2020年1月29日《振动力学》7iiipiibac222得：令：iipic2称ζi为振型比例阻尼。若a=0,有：iib2意味着各个振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率。若b=0,有：iia2意味着各个振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率。nitNηηcηiiPi~1),(22iPibac2020年1月29日《振动力学》8pnpPcc1C则n自由度系统运动方程变为：iiPic2并令：这一方法有很大的实用价值，一般适用于振型比例阻尼ζi不大于0.2的弱阻尼系统。若系统阻尼较大，不能用振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵不能对角化，有其它方法解决，但超出本课程范围。(2)当阻尼比较小的时候，忽略矩阵中的全部非对角元素PCnitNηηηiiiiiii~1),(222020年1月29日《振动力学》9假设粘性阻尼系统的微分方程中的阻尼矩阵C可以对角化，5.11有阻尼系统对任意激励的响应·振型叠加法pnpPcc1C则n自由度系统运动方程变为：iiPic2并令：),,2,1(2)()(niiiTiiCuu其中，),,2,1()()()(nittNTiiFunitNηηηiiiiiii~1),(22下面对几种激励分别讨论2020年1月29日《振动力学》10假设激励为)~1(,202nieNηηηtiiiiiiii1.有阻尼系统对简谐激励的响应ttsin)(0FF将运动方程写成复数形式：),,2,1()(0niNTii0Fu式中，则正则坐标的稳态响应：)~1(,)()()(20nieHNtηitiiiii,)2()1(1)(222iiiiH式中，,12arctan2iiii,ii正则坐标的放大因子相位角频率比2020年1月29日《振动力学》11正弦激励下正则坐标的稳态响应：)(20)(Im)(itiiiiieHNtη)sin()2()1(22220iiiiiitN原广义坐标的稳态响应：niiitt1)()()(uqniiiiiiTiit122220)()()sin()2()1(Fuu的振幅会很大。时接近当激励频率可以看出iii,1,,尼系统类似。共振现象与单自由度阻个共振频率，但有n个共振现象。共有n2020年1月29日《振动力学》12假设各坐标上作用的激励周期相同，则)~1(,)sincos(2)(10nitjbtjaatNjijijii2.有阻尼系统对周期激励的响应节公式计算。可由第式中，7.3,,0ijijibaa把激励各简谐分量所引起的系统稳态响应分别求出，再叠加：102)]sin()cos([)(21)(jijijijijijiiitjbtjajHatη,)2()1(1)(2222iiiijjjjH式中，,12arctan22iiiijjj,ii的周期也相同。)(tiN进行傅里叶级数展开：将)(tiN2020年1月29日《振动力学》13原坐标的系统稳态响应：)()(1)(tηtiiinuqnijijijijijijiiitjbtjajHa1102)()]sin()cos([)(2u从ηi表达式可以看出，任意阶正则坐标的响应是由各个不同频率激励引起的响应叠加而成，因而就一般周期性激励函数而言，产生共振的可能性要比简谐激励大得多，很难预料各阶振型中哪阶振型将受到激励的强烈影响而共振。但当激励函数展开成傅里叶级数后，可以将每个激励频率jω和每个固有频率ωi相比较，从而预先推测出强烈振动所在。2020年1月29日《振动力学》14对于外力是一般随时间变化的激励，解耦的微分方程为：3.有阻尼系统对任意激励的响应ttetηdidiiiiidiitiiisincos)(000,12iidi式中，,0)(0MquTiinitNtηtηtηiiiiiii~1),()()(2)(2得正则坐标的响应为：tditididteNii0)()(sin)(1对初始条件的响应杜哈梅积分.0)(0qMuTii原坐标的响应为：)()(1)(ttniiiuq2020年1月29日《振动力学》15例5.11-1：振动系统如右，解：设广义坐标为q1、q2，系统的微分方程：求系统的稳态响应。tFFqqkqqcqqmsin21122112100121212121,1mk111121mucq1q2mkmkkcctFsin1tFsin2均以静平衡位置为原点。系统无阻尼时的固有频率：,32mk正则振型矩阵：2020年1月29日《振动力学》16tFFFFmmkmcsin21300130012121212121cq1q2mkmkkcctFsin1tFsin2得正则坐标的微分方程：)()(ttuηq令111121mu3001002221mkpK30011111211211112mcmcCuuCTp)()(ttFuNTitFFmsin11112121tFFFFmsin2121212020年1月29日《振动力学》17tFFFFmmkmcsin21300130012121212121解耦的正则坐标的微分方程：解上述两个独立微分方程：)(sin)/()(12)(122221211tmcmFFt21tanmkc其中，)(sin)/3()(12)(222222212tmcmFFt2233tanmkc2020年1月29日《振动力学》18得原坐标的稳态响应：)()(ttuηq111121mu22222221222211211)/3()()(sin)()/()()(sin)(21)(mctFFmctFFmtq22222221222211212)/3()()(sin)()/()()(sin)(21)(mctFFmctFFmtq，21tanmkc2233tanmkc,1mk,32mk式中，2020年1月29日《振动力学》19作业5.17.