机械振动与机械波习题讨论课

机械振动与机械波习题讨论课I.机械振动一、简谐振动的表达式及确定方法：)(costAx然后确定三个特征量：、A、旋转矢量法确定：先在X轴上找到相应x0，有两个旋转矢量，由速度的方向正负来确定其中的一个。XOAA0x,,0,,002,00,000000AxAxvvv或下半圆，上半圆，二、简谐振动的判定：mkxtxkxFtAxdd)3()2()cos()1(222其中分析步骤：1、找到平衡位置O，建立坐标系；2、沿X轴正方向移动一小位移x；3、证明xtx222ddI.机械振动三、简谐振动的能量：22222222121)(sin2121AmkAEEEtmAmvEpkk动能I.机械振动)(cos2121222tkAkxEp势能总能量24121kAEEEpk四、简谐振动的合成：1、同方向、同频率的两个简谐振动的合成：2211221112212221coscossinsintg)(cos2AAAAAAAAA2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成：12b122cos2拍频合tAAI.机械振动五．两相互垂直的谐振动的合成当两分振动的频率相同时，合运动轨迹一般为一椭圆。其具体形状决定于两分振动的相位差和振幅。当两分振动的频率不同但为整数比时，其合运动的轨迹为李萨如图。六、阻尼振动阻尼振动的微分方程弱阻尼时(其中)22dtxdmdtdxkx)cos(tAext220I.机械振动七、受迫振动受迫振动的微分方程其稳定解为与驱动力频率相同的简谐振动。当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时发生共振现象。220cosdtxdmtFdtdxkxI.机械振动一、机械波的产生及条件：uuT或三、波动表达式及确定方法：①先求出波源的振动方程])([cosuxtAy②依x处的振动与波源比较超前或滞后，写出波函数:波源及弹性介质二、描写波的物理量三者之间的关系波速、波长和频率][cos0tAyII.机械波四、机械波的能量：uAuwI22212221AwII.机械波平均能量密度平均能流密度相干条件：①频率相同②振动方向相同③相位差恒定五、机械波的合成：cos2212221AAAAAII.机械波min21minmax21max1212,,)12(,,22IAAAkIAAAkrr21)(2:121221krrkrr－减弱条件　　　　　－　加强条件：　＝若TtAyyy2cos]xcos22[214)12(2)12(22kxkkxkx波节波腹六、驻波：2x相邻波节或波腹间距为II.机械波七、半波损失：入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。八、反射波表达式的确定：①、先将反射点的坐标代入入射波方程，得到入射波在反射点的振动方程；②、判断入射波在反射过程中有无半波损失，求出反射波在反射点的振动方程；③、写出反射波的标准表达式，将反射点的坐标代入，并与②中的振动方程比较，确定其反射波表达式中的初相位即可。SSRRvuvu九、多普勒效应：II.机械波一、讨论题xkkF)(210,)(21222221xmkkdtxddtxdmxkkmkkmkk21212,解:(a）由牛顿第二定律：mk1k2mab1.如图所示，求a、b两种情况下的振动的圆频率。解:(b)由于ΔL1+ΔL2=x，且k1ΔL1=k2ΔL2所以m所受的回复力k1k2xmxkkkkLkF212122222121dtxdmxkkkk)(2121kkmkk由牛顿第二定律：0)(212122xkkmkkdtxd2.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为A/2-AOxt（A）（B）2/π3（D）0π（C）2/π3.一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8Ttπ23ππ26TtxAAOaAbA2Av)s(tOA12（A）4.如图所示一向右传播的简谐波在t=0时刻的波形，已知周期为2s，则P点处质点的振动速度与时间的关系曲线为：yAxOAuP*pyAtOAP点振动图)s(tOA12（C）v（B）)s(tOA12v)s(tOA12（D）vyAxOABCuP5.如图所示一向右传播的简谐波在t时刻的波形，BC为波密介质的反射面，则反射波在t时刻的波形图为：答：（B）P点两振动反相yAxOAyAOAxuu（C）（D）yAxOAu（A）PPPyAxOAu（B）P6.一平面简谐波动在弹性介质中传播时，在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是（A）动能为零,势能最大（B）动能为零,势能为零（C）动能最大,势能最大（D）动能最大,势能为零7.在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（A）振幅相同,相位相同（B）振幅不同,相位相同（C）振幅相同,相位不同（D）振幅不同,相位不同8.判断下面几种说法,哪些是正确的,那些错的?(1)机械振动一定能产生机械波;(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的;(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的;(4)波函数式中的坐标原点是一定要选取在波源处.错机械振动在弹性介质中传播形成的波,叫机械波错对错9.波的干涉的产生条件是什么?若两波源所发出的波的振动方向相同,频率不同,则它们在空间叠加时,加强和减弱是否稳定?两波的相干条件：3）恒定的相位差2）相同的振动方向两波源具有：1）相同的频率)(1)(2频率不同,就不会有恒定的相位差,加强和减弱不会稳定.补充条件：强度相差不太大3π23Nπ2N0321xxxx0A10.已知如下的三个简谐振动，求合振动.tAxcos11)3π2cos(22tAx)3π4cos(33tAx321xxx求：321AAA已知3π21A2A3AOx3π23.一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为k。现有一质量为m的物体自离盘h高处自由下落，掉在盘上没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表式。(取物体掉入盘子后的平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。)kMhm解：与M碰撞前瞬间，物体m的速度ghm20由动量守恒定律，求得碰撞后的速度mmMm00)(mMmm00ghMmm2碰撞时，物体m离开平衡位置距离00kxmgkmgx0碰撞后，物体系统作简谐振动，振动角频率Mmk由初始条件，x0=Acos0，0=-Asin0，得2020)(xAMmkghMmmkmg22)2()(gMmkhkmg)(21000xtgMmkkmgghMmm2gMmkh)(2振动表式为)cos(0tAxgMmkhtgtMmkgMmkhkmg)(2cos)(211火车的危险速率与轨长11.车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动．当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率．设车厢总负荷为m=5.5×104kg，车厢弹簧每受力F=9.8×103N被压缩x=0.8mm，铁轨长L=12.6m，求危险速率．已知：m=5.5×104kg；受力F=9.8×103N；压缩x=0.8mm；铁轨长L=12.6mmk解s42.0s108.9108.01055π2π2π2333FxmkmTxFkxkF长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动．11hkm108sm0.3042.06.12TLv12.一横波在沿绳子传播时的波函数为.50.2cos20.0mxty(1)求波的振幅,波速,频率,波长(2)求绳上的质点振动时的最大速度;(3)分别画出t=1s和t=2s时的波形,并指出波峰和波谷,画出x=1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.解:mxty50.2cos20.0(1)已知波动方程为与一般表达式0)/(cosuxtAy比较,得0,5.2,20.001smumAHZ25.12/mu0.2/(2)绳上的质点振动速度SIxtdtdyv5.2/5.2sin5.0/1max57.1smv(3)t=1s和t=2s时的波形方程分别为mxy50.2cos20.01mxy5cos20.02波形如图2.00mx/my/2.00.10.2st1st2x=1.0m处质点的运动方程mty)5.2cos(20.0已知波动方程为mxty50.2cos20.0振动图形如图2.00st/my/2.00.26.0波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,振动图表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的情况..210sin05.0mxty13已知一波动方程为(1)求波长,频率,波速,周期;(2)说明x=0时方程的意义,并作图表示.解:mxty2/)5/(10cos05.0已知波动方程改为与一般表达式0)/(cosuxtAy比较,得,7.15,1011smusHZ0.52/sT2.0/1muT14.3x=0时方程mty)2/10cos(05.0表示位于坐标原点的质点的运动方程.05.00st/my/1.02.014.波源作简谐运动,周期为0.02s,若该振动以100m.s-1的速度沿直线传播,设t=0时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,求:(1)距波源15.0m和5.0m处质点的运动方程和初相;(2)距波源分别为16.0m和17.0m的两质点间的相位差.解:mxtAy2/)100/(100cos,100/21sTmuT2(1)由题意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可得t=0时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,质点的初相为设波源为坐标原点距波源15.0m和5.0m处质点的运动方程为mtAy5.15100cos1mtAy5.5100cos2它们的初相分别为10=-15.5和20=-5.5(2)距波源16.0m和17.0m的两点间的相位差/21221xx0=-/2mtyp2/2cos30.016.有一平面简谐波在介质中传播,波速u=100m.s-1,波线上右侧距波源o(坐标原点)为75.0m处的一点P的运动方程为mtyp2/2cos30.0求(1)波向x轴正方向传播时的波动方程;(2)波向x轴负方向传播时的波动方程;])(cos[),(0uxtAtxy解波函数就是普适性的振动方程.把x=75.0m代入向x轴正方向传播时波动方程的一般形式与P点的振动方程进行比较])10075(cos[)(0tAty得:mA30.012s20mxttxy)]100(2cos[30.0),((2)波向x轴负方向传播时的波动方程;mtyp2/2cos30.0把x=75.0m代入向x轴负方向传播时波动方程的一般形式与P点的振动方程进行比较])10075(cos[)(0tAty得:mA30.012s0mxtt