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机械振动基础（2005年-2010年)中南大学考试试卷K2IK1K3Kt1Kt2I1Kt3I2I3I1Kt4中南大学考试试卷2005-2006学年上学期时间110分钟《机械振动基础》课程32学时1.5学分考试形式：闭卷专业年级：机械03级总分100分，占总评成绩70%一、填空题（本题15分，每空1分）1、不同情况进行分类，振动(系统)大致可分成，（）和非线性振动；确定振动和（）；（）和强迫振动；周期振动和（）；（）和离散系统。2、在离散系统中，弹性元件储存()，惯性元件储存（），()元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？（10分）三、计算题（本题30分）1、求图1系统固有频率。（10分）2、图2所示为3自由度无阻尼振动系统。(1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；(2)设1234ttttkkkkk====，123/5IIII===，求系统固有频率（10分）。四、证明题（本题15分）对振动系统的任一位移{}x，证明Rayleigh商{}[]{}(){}[]{}TTxKxRxxMx=满足221()nRxωω≤≤。这里，[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和nω分别是系统的最低和最高固有频率。(提示：用展开定理1122{}{}{}......{}nnxyuyuyu=+++)图1图2三、计算题三、计算题三、计算题三、计算题1111解：解：解：解：12312KKKKKKIIω++==2222解：解：解：解：1)1)1)1)以静平衡位置为原点，设以静平衡位置为原点，设以静平衡位置为原点，设以静平衡位置为原点，设123,,III的位移的位移的位移的位移123,,θθθ为广义坐标，画出为广义坐标，画出为广义坐标，画出为广义坐标，画出123,,III隔离体，隔离体，隔离体，隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：根据牛顿第二定律得到运动微分方程：根据牛顿第二定律得到运动微分方程：根据牛顿第二定律得到运动微分方程：1111212222213233333243()0()()0()0θθθθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪+−+−=⎨⎪+−+=⎩&&&&&&ttttttIkkIkkIkk所以：所以：所以：所以：[][]12312222333340010000050;0000102101210012⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−+−=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−⎣⎦⎣⎦ttttttttttIMIIIkkkKkkkkkkkk系统运动微分方程可写为：系统运动微分方程可写为：系统运动微分方程可写为：系统运动微分方程可写为：[][]1122330θθθθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭&&&&&&MK…………………………………………(a)(a)(a)(a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为或者采用能量法：系统的动能和势能分别为或者采用能量法：系统的动能和势能分别为或者采用能量法：系统的动能和势能分别为222112233111222TEIIIθθθ=++&&&222211212323431111()()2222ttttUkkkkθθθθθθ=+−+−+222121232343212323111()()()222ttttttttkkkkkkkkθθθθθθθ=+++++−−求偏导也可以得到求偏导也可以得到求偏导也可以得到求偏导也可以得到[][],MK。。。。2)2)2)2)设系统固有振动的解为：设系统固有振动的解为：设系统固有振动的解为：设系统固有振动的解为：112233cosθθωθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭uutu，代入（，代入（，代入（，代入（aaaa）可得：）可得：）可得：）可得：[][]1223()0uKMuuω⎧⎫⎪⎪−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭…………………………………………(b)(b)(b)(b)得到频率方程：得到频率方程：得到频率方程：得到频率方程：222220()25002ωωωω−−=−−−=−−kIkkkIkkkI10-1-0.22111.8211即：即：即：即：222422()(2)(5122)0ωωωω=−−+=kIIkIk解得：解得：解得：解得：2626()5ω±=kI和和和和22ω=kI所以：所以：所以：所以：123626626()2()55ωωω−+===kkkImI…………………………………………(c)(c)(c)(c)将（将（将（将（cccc）代入（）代入（）代入（）代入（bbbb）可得：）可得：）可得：）可得：1236262()056262()50562602()5⎡⎤±−−⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎢⎥±⎪⎪−−−=⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥±−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦kkIkIukkkIkuIukkkII和和和和1232202250022⎡⎤−−⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥−−−=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦kkIkIukkkIkuIukkkII解得：解得：解得：解得：112131::1:1.82:1≈uuu；；；；122232::1:0:1uuu≈−；；；；132333::1:0.22:1≈−uuu；；；；令令令令31u=，得到系统的，得到系统的，得到系统的，得到系统的三阶三阶三阶三阶振型振型振型振型如图如图如图如图：：：：四四四四证明：对系统的任一位移证明：对系统的任一位移证明：对系统的任一位移证明：对系统的任一位移{{{{xxxx}}}}，，，，RayleighRayleighRayleighRayleigh商商商商}]{[}{}]{[}{)(xMxxKxxRTT=满足满足满足满足221)(nxRωω≤≤这里，这里，这里，这里，[[[[KKKK]]]]和和和和[[[[MMMM]]]]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和和和和nω分别为系统的最低和最高固有分别为系统的最低和最高固有分别为系统的最低和最高固有分别为系统的最低和最高固有频率。频率。频率。频率。证明证明证明证明：：：：对振动系统的任意位移对振动系统的任意位移对振动系统的任意位移对振动系统的任意位移{x},{x},{x},{x},由展开定理由展开定理由展开定理由展开定理，，，，{x}{x}{x}{x}可按可按可按可按nnnn个彼此正交的正规化固有振型展开个彼此正交的正规化固有振型展开个彼此正交的正规化固有振型展开个彼此正交的正规化固有振型展开：：：：()1{}{}[]{}niiixyuuy===∑其中：其中：其中：其中：[u][u][u][u]为振型矩阵，为振型矩阵，为振型矩阵，为振型矩阵，{c}{c}{c}{c}为展开系数构成的列向量：为展开系数构成的列向量：为展开系数构成的列向量：为展开系数构成的列向量：12{}{,,...,}Tnyyyy=所以：所以：所以：所以：{}[]{}{}[][][]{}(){}[]{}{}[][][]{}TTTTTTxKxyuKuyRxxMxyuMuy==由于：由于：由于：由于：212100[][][]0000100[][][]0000TTnuMuuKuωω⎧⎡⎤⎪⎢⎥=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪⎢⎥=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩OO因此：因此：因此：因此：21200{}00{}00{}[][][]{}(){}[][][]{}100{}00{}001TTTnTTTyyyuKuyRxyuMuyyyωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦OO222222112222212......nnnyyyyyyωωω+++=+++由于：由于：由于：由于：22212...nωωω≤≤≤所以：所以：所以：所以：22221112211()nniniiinniiiiyyRxyyωω====≤≤∑∑∑∑即：即：即：即：221)(nxRωω≤≤证毕。证毕。证毕。证毕。1机械振动（机械振动（机械振动（机械振动（2004200420042004级）试题参考答案级）试题参考答案级）试题参考答案级）试题参考答案2006-2007学年上学期时间120分钟机械振动课程32学时2学分考试形式：闭卷专业年级：机械04级总分100分，占总评成绩70%一、填空（15分，每空1分）1．AAAA：线性振动系统BBBB：非线性关系2．CCCC：势能DDDD：动能EEEE：阻尼3．FFFF：简谐函数GGGG：级数4．HHHH、IIII、JJJJ：振动设计、系统识别、环境预测5．KKKK、LLLL、MMMM：均值、方差、自相关函数和互相关函数NNNN：与时间无关OOOO：时域二、简答题（45分）1．机械振动系统的固有频率与哪些因素有关？关系如何？（10分）答：机械振动系统的固有频率与系统的质量矩阵（2分）、刚度矩阵（2分）和阻尼有关（1分）质量越大，固有频率越低；（2分）刚度越大，固有频率越高；（2分）阻尼越大，固有频率越低。（1分）2．简述机械振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）答：实际阻尼是指振动系统的真实阻尼值，用于度量系统自身消耗振动能量的能力；（2分）临界阻尼是概念阻尼，是指一个特定的阻尼值（2分），大于或等于该阻尼值，系统的运动不是振动，而是一个指数衰运动；（3分）阻尼比（相对阻尼系数）等于实际阻尼与临界阻尼之比。（3分）3．简述无阻尼单自由度系统共振的能量集聚过程。（10分）答：无阻尼单自由度系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，系统将发生共振；（3分）外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动的能量；（3分）外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大；（3分）无阻尼系统共振时，需要一定的时间积累振动能量。（1分）4.简述线性多自由度系统动力响应分析方法。（10分）答：多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动力响应分析；（1分）常用的动力响应分析方法有振型叠加法和变换方法（傅里叶变换和拉普拉斯变换）；（4分）当系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵可以同时对角化的时候，可以把系2统的运动微分方程解耦，得到一组彼此独立的单自由度运动微分方程，求出这些单自由度微分方程的解后，采用振型叠加，即可得到系统的动力响应。（3分）傅里叶变换或拉普拉斯变换就是对各向量做傅里叶变换和拉普拉斯变换，得到系统的频响函数矩阵或传递函数矩阵，然后进行傅里叶逆变换或拉普拉斯逆变换得到系统的响应。（2分）5.简述随机振动与确定性振动分析方法之间的不同点。（5分）答：一个振动系统的振动，如果对任意时刻，都可以预测描述它的物理量的确定的值，即振动是确定的或可以预测的，这种振动称为确定性振动。反之，为随机振动；（2分）在确定性振动中，振动系统的物理量可以用随时间变化的函数描述。随机振动只能用概率统计方法描述。（3分）三、如图1所示，三个刚性齿轮啮合，其转动惯量分别为I1、I2、I3，齿数分别为Z1、Z2、Z3，轴1、轴2、轴3的扭转刚度分别为k1、k2、k3，试求该系统作微幅振动时的固有频率。（15分）图1解：（1）建立坐标，求各轴转角之间的关系：（3分）设轴1转角为x1。则轴2的转角x2、轴3的转角x3分别为：x2=ZZ21x1x3=ZZ32x2=ZZ32×ZZ21x1=ZZ31x1（2）系统的动能：（4分）ET=21I121x&+21I222x&+21I323x&=21[I1+I2(ZZ21)2+I3(ZZ31)2]21x&（3）系统的势能：（4分）U=21k1x21+21k2x22+21k3x23=21[k1+k2(ZZ21