机械振动基础培训讲义

机械振动基础※引言※单自由度系统的自由振动※计算固有频率的能量法※单自由度系统的有阻尼自由振动※单自由度系统的无阻尼受迫振动※单自由度系统的有阻尼受迫振动※结论与讨论引言振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的－动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗贝尔原理。分析动力学基础中的－拉格朗日方程。按激励特性划分：振动问题的分类自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。按系统特性或运动微分方程类型划分：线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。)sin(0eqeqtFkm＝0kyym非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。按系统的自由度划分：单自由度振动－一个自由度系统的振动。多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。§19-1单自由度系统的自由振动l0mkkxOxl0stFW1.自由振动微分方程l0——弹簧原长；k——弹簧刚性系数；st——弹簧的静变形；kWkWstst/取静平衡位置为坐标原点，x向下为正，则有：kxxkWFWdtxdmst)(220kxxm0kxxm022xxmknn积分常数2121,sincosCCtCtCxnn212221/tan,CCCCA:令)sin(tAxnA——振幅；n——固有频率；（n+）——相位；——初相位。fTTnn2122周期单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程0eqeq＝qkqm物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式0＝kxxm加的力或力矩。需要在这一坐标方向施移，义坐标方向产生单位位等效刚度：使系统在广－eqk向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方速义坐标方向产生单位加等效质量：使系统在广－eqm0eqeq＝qkqm02＝qqntCtCqnncoscos21＝tAqnsin＝初始速度。初始广义坐标；振动的初位相；振动的振幅；系统的固有频率；－－－－＝0000n2020eqeqarctanqqqqqqAmknn例题1mv提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性模量E＝200GPa。重物的质量m＝6000kg，以匀速v＝0.25m/s下降。当重物下降到l＝25m时，钢丝绳上端突然被卡住。l求：（1）重物的振动规律；（2）钢丝绳承受的最大张力。解：钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧－物块系统,弹簧的刚度为N/m1031226.lEAkmk静平衡位置Ox设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为0kxxm方程的解为1ns63.19)sin(mktAxn利用初始条件vvxx(0)(0),0)0(求得m0127.00nvAtxsin19.630127.0mk静平衡位置OxmxWFT（2）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象tmAWFtmAxmFWnnTnnTsinsin22kN2.88)(22maxnnTAgmmAWFtxsin19.630127.0l固定端均质等截面悬臂梁，长度为l,弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块。若不计梁的质量。试写出梁－物块系统的运动微分方程。例题2mEIl固定端ystOyEImglEIWly3333st考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标q=y,坐标原点O设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用yst表示。分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，物块的受力：应用牛顿第二定律W=mgFFmgym分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，梁的自由端位移与力之间的关系EIl固定端F'EIFlEIlFyy3333st等效刚度－klEIkyykF3st3yystmEIl固定端OyFmgymstyykF0kyymEImglEIWly3333st此即梁－物块的运动微分方程)sin(tAyn33lEIk串联弹簧与并联弹簧的等效刚度21eq111kkkk1k2eqststststststkmgkkmgkmgkmg)11(21212211mgk1mgk2)(2121kkmkkmkeqn1.串联21eqkkkk1k2mk1k2mmgF1F2ststkFkF2211,steqstkkkFFmg)(2121mkkmkeqn212.并联k4k3k2k1m图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为k1、k2、k3、k4且k1=2k2=3k3=4k4。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例题3试求此系统的固有频率。解：（1）计算3、4的等效刚度143433471kkkkkk（2）计算2、3、4的等效刚度1342234149kkkkk4k3k2k1m解：（1）计算3、4的等效刚度143433471kkkkkk（2）计算2、3、4的等效刚度1342234149kkkk（3）计算系统的等效刚度123411423kkkkeq（4）计算系统的固有频率mkmkeqn14231？1mkO在图中，当把弹簧原长在中点O固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比值为。kkml在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为n0，现将物块改移至距上端处，则其固有频率=n0。？2mkal例题4图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若k、m、a、l等均为已知。求：系统微振动的固有频率mgF解：取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得coscos22FamgldtdJO)sin(akFstsin,1cos则考虑到微转角,在静平衡位置处，有akmglstmkalmgFcoscos22FamgldtdJO)sin(akFstsin,1cos则考虑到微转角,在静平衡位置处，有akmglst222)(kaaakmgldtdJstO02kaJOmklaJkaOn§19-2计算固有频率的能量法mk静平衡位置Ox)sin(tAxn)cos(tAxvnn)(cos21212222tAmmvTnnmgxxkVstst])[(2122)(sin2121222tkAkxVn物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有mgkst22max21AmTn2max21kAVmaxmaxVTmkn)(cos21212222tAmmvTnn)(sin2121222tkAkxVn物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒mkal)sin(tAn2222maxmax21)(21nAmllmT222maxmax21)(21AkaakVmaxmaxVTmklan解：设OA杆作自由振动时，其摆角的变化规律为系统的最大动能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有例题5由能量法解例题4例题6半径为r、质量为m的均质圆柱体，在半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。求：1、圆柱体的运动微分方程；2、微振动固有频率。RCORCO解：取摆角为广义坐标222121CCCJmvTcos)(rRmgV由运动学可知：rrRrvrRvCCC)()(22)(43rRmT系统的动能系统的势能拉氏函数为cos)()(4322rRmgrRmVTLRCOcos)()(4322rRmgrRmVTLsin)(rRmgL2)(23rRmL2)(23)(ddrRmLt0)(ddLLt0sin)(23grR0)(32rRgRCO0)(ddLLt0sin)(23grR0)(32rRg)(32rRgnRCO例题7由能量法求固有频率)sin(tAn2sin)(2)cos1)((2rRmgrRmgV解：设摆角的变化规律为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为2222max2max)(43)(43nArRmrRmTsin有考虑到微振动时,2)(21rRmgV2max)(21ArRmgVRCO2222max2max)(43)(43nArRmrRmT2max)(21ArRmgVmaxmaxVT)(32rRgn由机械能守恒定律有§19-3单自由度系统有阻尼自由振动阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系vFccC－粘性阻尼系数或粘阻系数1.阻尼2.振动微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为dtdxckxdtxdm2202222xdtdxndtxdn粘性阻尼力弹性恢复力xcFkxFckmcnmkn2,2:令02222xdtdxndtxdn本征方程0222nnrr本征值222221nnnnrnnr本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。设其解为rtex其通解为trtreCeCx21213.小阻尼情形222221iinnrnnrnn)sin(22tnAexnnt当nn时，阻尼系数，这时阻尼较小，称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：mkc2其方程的解为利用初始条件0(0)(0),0)0(vvxx求得0022n022n20020tan)(nxvnxnnxvxA或22)sin(ntAexnddnt:其中tAxntdsine－ntA－entA－eTdA2A12222nTndd衰减振动的周期：引入阻尼比：mkcnn2222222111122nddnndffTnT得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：)ee(222221tntnntnnCCex大阻尼(1)情形222,1nnnr临界阻尼(＝1)情形nrr21)(21tCCex