大一高数上_PPT课件_第三章

第三章微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理定理(Rolle)若函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内可导（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)0)()(),(,),(fxfbaba在该点的导数为零，即使得函数内至少存在一点则在例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在(1,3),在内可导,0)3()1(ff且),1(2)(xxf))3,1(1(,1取.0)(f§3.1微分中值定理几何解释:xyo)(xfyabC12若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，.,切线是水平的在该点处的上至少有一点在曲线弧CAB注①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使0200xxxy但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。例如,];2,2[,xxy,,)0(]2,2[一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在f.0)(xf但在内找不到一点能使又例如,;0)0(],1,0(,1)(fxxxf在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件,()0.fx但在(0,1)内找不到一点能使再例如].1,0[,)(xxxf在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,.0)(的点但也找不到使xf②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如)2ln()(xxxf在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而)2ln(2)(xxxxf但却不易找到使的点0)(xf但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.例1．不求函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数,判断方程f(x)0有几个实根，以及其所在范围。解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点1，使f(1)0，1是f(x)=0的一个实根。在(2,3)内至少存在一点2，使f(2)0，2也是f(x)=0的一个实根。f(x)=0是二次方程，只能有两个实根，分别在区间(1,2)及(2,3)内。二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那么在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成几何解释:xoy)(xfyABabC1D2.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧xNM()()()fbfafba推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)。由假定，f()0，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)。因此f(x)在区间I上是一个常数。证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有f(x)f(0)f()(x0)，0x。又由0x，有由于f(0)0，xxf11)(，因此上式即为1)1ln(xx。例2．证明当x0时，xxxx)1ln(1。xxxx)1ln(1。三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那么在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfbFaFbfaf成立.Cauchy定理又称为广义微分中值定理结构图Lagrange定理特例Rolle定理推广Cauchy定理拉格朗日中值定理又称微分中值定理.第二节洛必达法则洛必达法则型未定式解法型及一、:00型未定式解法二、00,1,0,,0洛必达法则型未定式解法型及一、:00定义()()()()()lim()0.0xaxxaxfxFxfxFx如果当或时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在、也可能不存在．通常把这种极限称为或型未定式例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax那末或为无穷大存在且都存在及点的某去心邻域内在都趋于零及函数时当设定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则..,该法则仍然成立时当x使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续满足型，且仍属如果)(),(00)()(xFxfxFxf.)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx.,,也有相应的洛必达法则时的未定式当xax例1．求bxaxxsinsinlim0(b0)。解：babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。例2．求123lim2331xxxxxx。解：)1()23(lim123lim23312331xxxxxxxxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx。解：babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。解：babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。解：babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。解：)1()23(lim123lim23312331xxxxxxxxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx。23266lim12333lim1221xxxxxxx。例3．求30sinlimxxxx。解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061。例4．求xxx1arctan2lim。解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061。解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061。解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061。解：xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx。解：xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx。解：xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx。解：xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx。例5．求nxxxlnlim(n0)。解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。例6．xnxexlim(n为正整数，0)。解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim0!limxnxen。解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22)1(lim型未定式解法二、00,1,0,,0关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(型0.1步骤:,10.0100或例7．求0+limxxnlnx(n0)。0.lim0nxnx解：xxnxlnlim0+nxxx0lnlim101limnxnxx例8解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:0sinlim2cossinxxxxx步骤:型00,1,0.3ln01ln0ln01000取对数.0例9解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim01．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。例10．求xxxxxsintanlim20。解：xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx应注意的问题：xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120xxxx。解：xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx解：xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxxxxxx6tansec2lim2031tanseclim3120xxxx。xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120xxxx。2．本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。例11．求xxxxsinlim。解：因为极限)()sin(limxxxx1cos1limxx不存在，所以不能用洛必达法则。xxxxsinlim1sin1limxxx。但其极限是存在的：xxxxsinlim1sin1lim