大一高等数学第五章定积分习题

问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba一、主要内容1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）iniixfA)(lim10曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.实例2（求变速直线运动的路程）iniitvs)(lim10设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程S.方法:分割、求和、取极限.2、定积分的定义设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意若干若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），定义],,[],,[],,[12110nnxxxxxx怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10.也不论在小区间],[1iixx上的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，记为记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba我们称这个极限I为函数)(xf作乘积iixf)(),2,1(i点i怎样并作和iinixfS)(1，可积的两个充分条件：当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.3、存在定理4、定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假设bca性质3则0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，推论：则dxxfba)(dxxgba)()(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)()(ba（2）dxba1dxbaab性质4如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf)(ba性质7(定积分中值定理)设M及m分别是函数则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式5、牛顿—莱布尼茨公式如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定理1定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.)]([)(babaxFdxxf也可写成牛顿—莱布尼茨公式.],[],[:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明baba6、定积分的计算法dtttfdxxfba)()]([)(换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式bababavduuvudv][７、广义积分(1)无穷限的广义积分adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.bdxxf)(baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.badxxf)(badxxf)(lim0badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim0例1解.2sin120dxx求20cossindxxx原式2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.222二、典型例题例2解.cossinsin20dxxxx求,cossinsin20dxxxxI由,cossincos20dxxxxJ设,220dxJI则20cossincossindxxxxxJI20cossin)sin(cosxxxxd.0,22I故得.4I即例3解.12ln02dxex求,sintex令.sincos,sinlndtttdxtx则62)sincos(cosdtttt原式262sincosdtttxt02ln262626sinsintdttdt.23)32ln(例4解.2sinln40xdx求,2tx令.sinln212sinln2040tdtxdx402sinlnxdxI40)cossin2ln(dxxx40)coslnsinln2(lndxxx2440sinlnsinln2ln4xdxxdx20sinln2ln4xdxI22ln4.2ln4I例5.])1(ln1sin[212128dxxxx求解dxx2121)1ln(0原式dxxdxx210021)1ln()1ln(.21ln23ln23例6.},1min{222dxxx求解1,11,},1min{22xxxxxx是偶函数,dxxx},1min{2220原式21102122dxxdxx.2ln232例7.)()1(,)(102022dxxfxdyexfxyy求设解10022][)1(2dxdyexxyy原式10231002322)1(31])1(31[dxexdyexxxxyy1021)1(2])1[()1(612xdexxux2)1(令016duueeu).2(61e例8.cos1)(sin2cos1)(sin:,],0[)(0202dxxxfdxxxxfxf证明上连续在设证,tx令)(cos1)(sin)(02dtttft左边,dtdxdxxxfx02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf0202cos1)(sincos1)(sin2即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf例9.)()()(.0)(],[)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba证明上连续，且在区间设证作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa)(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa,2)()()()(xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()(()(dtxftftfxfxFxa即2)()()()(xftftfxf,0)(xf.)(单调增加xF,0)(aF又,0)()(aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba即例10.123)2(;94)1(:2122xxxdxxxdx求下列广义积分解(1)02029494xxdxxxdx原式bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim.5(2),1231lim)(lim211xxxxfxx.)(1的瑕点为xfx2120123limxxxdx原式])11(2)11([lim21220xxd210211arcsinlimx.43arcsin2一、选择题：1、2222221limnnnnnnnn()（A）0；（B）21；（C）4；（D）2.2、xdttdxd02)1ln(=（）（A）)1ln(2x；（B）)1ln(2t；（C）)1ln(22xx；（D）)1ln(22tt.测验题3、3020sinlimxdttxx=()（A）0；（B）1；（C）31；（D）.4.、定积分10dxex的值是（）（A）e；（B）21；（C）21e；（D）2.5、下列积分中，使用变换正确的是（）（A）,sin103xdx令txarctan；（B）30321dxxx，令txsin；（C）21221)1ln(dxxxx，令ux21；（D）1121dxx，令31tx.6、下列积分中，值为零的是（）（A）112dxx；(B）213dxx；（C）11dx；（D）112sinxdxx.7、已知5)2(,3)2(,1)0('fff,则20'')(dxxxf（）（A）12；（B）8；（C）7；（D）6.8、设0,110,11)(xexxxfx，则定积分20)1(dxxf=（）（A）)11ln(1e；（B）3ln)1ln(22e；（C）2ln)11ln(1e;（D）)11ln(1e.9、广义积分222xxdx=（）（A）4ln；（B）0；（C）4ln31；（D）发散.10、广义积分20234xxdx（）（A）3ln1；（B）32ln21；（C）3ln；（D）发散.二、证明不等式:)2(,6121210nxdxn.三、求下列函数的导数：1、3241)(xxtdtxF;2.、由方程1sin2200xytdtttdte，的为确定xy函数，求dxdy.四、求下列定积分：1、41)1(xxdx；2、axaxdx022；3、301arcsindxxx；4、52232dxxx；5、11121xdx；6、942xxdx；7、212123xxxdx；8、111dxxx.五、设1,0)(在xf上有连续导数，,0)0(f且1)(0xf,试证：103210)()(dxxfdxxf.六、设)(xf在[0，1]上有二阶连续导数，证明：10''10)()1(21)1()0(21)(dxxfxxffdxxf.一、1、C；2、A；3、C；4、D；5、C；6、D；7、B；8、A；9、C；10、D.三、1、81221213xxxx；2、2sin22xey.四、1、34ln2；2、4；3、334；4、371；5、1；6、5；7、43arcsin2；8、.测验题答案