大一高等数学第六章定积分应用习题

微元法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,],[)(定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa2、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U.3、所求量的特点1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值．如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U．4、解题步骤5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积xyo)(xfybadxxfA)(xyo)(1xfy)(2xfybadxxfxfA)]()([12AA直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积21)()(ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.参数方程所表示的函数dA2)]([21xod)(rxo)(2r)(1rdA)]()([212122极坐标情形(2)体积xdxxxyodxxfVba2)]([dyyVdc2)]([xyo)(yxcdxobadxxAV)(xdxxab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3)平面曲线的弧长xoyabxdxxdy弧长dxysba21A．曲线弧为)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数弧长dttts)()(22)(xfyB．曲线弧为C．曲线弧为)()(rr弧长drrs)()(22(4)旋转体的侧面积xdxxxyo)(xfybxaxfy,0)(badxxfxfS)(1)(22侧(5)细棒的质量oxdxx)(xxllldxxdmm00)((6)转动惯量abxyxdxxobabayydxxxdII)(2))((为线密度x(7)变力所作的功)(xFoabxdxxxbabadxxFdWW)((8)水压力xyoabxdxx)(xfbabadxxxfdPP)()(为比重(9)引力xyxdxxoAllllllyyxadxGadFF2322)(.0xF)(为引力系数G(10)函数的平均值badxxfaby)(1(11)均方根badxxfaby)(12二、典型例题例1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知ataytaxaaoyx解.10A设面积为由对称性,有aydxA040223)sin(cos3sin4dtttata20642]sin[sin12dttta.832a.20L设弧长为由对称性,有2022)()(4dtyxL20sincos34tdtta.6a.,30VS体积为设旋转体的表面积为由对称性,有axdxyyS02122203sincos3sin4tdttata.5122aadxyV02202262)sin(cos3sin2dtttata20273)sin1(sin6dttta.105323a例2?,)2(;)0()1(.至少需作功多少若再将满池水全部抽出面上升的速度时水求在池中水深内注水的半球形水池的流量往半径为以每秒RhhRaoxyRh解如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx半圆的方程为于是对半圆上任一点,有).0(2)(2222RyyRyRyRx时水池内水的体积为为的球缺的体积即水深故半球内高为的立体轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh0202)2()(,th时已注水的时间为又设水深,)(athV则有atdyyRyh02)2(即得求导两边对,t,)2(2adtdhhRh故所求速度为.)2(2hRhadtdh.)2(所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所的功约为所需降到抽水时使水位从dyyRyy)0()1(),(2水的比重yRdyx,222yRyx又.))(2(2dyyRyRydW即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为RdyyRyRyW02))(2(RdyyRyyR0322)32(.44R例3.,4,20,3050,,的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解xyo164xdxxAB如图建立坐标系,的方程为则梯形的腰AB.2321xy此闸门一侧受到静水压力为160)2321(2dxxgxP16023)233(xxg)25623409631(gg67.4522).(1043.47牛一、选择题：1、曲线xyln与直线ex1，ex及0y所围成的区域的面积S（）；（A）)11(2e；（B）ee1；（C）ee1；（D）11e.2、曲线sin2r与2cos2r所围图形公共部分的面积S（）；（A）23112；（B）41324；（C）21312；（D）2316.测验题3、曲线,cos3ax3sinay所围图形的面积S（）；（A）2323a；（B）283a；（C）221a；（D）2161a.4、由球面9222zyx与旋转锥面2228zyx之间包含z轴的部分的体积V()；（A）144；（B）36；（C）72；（D）24.5、用一平面截半r径为的球，设截得的部分球体高为)20(rhh体V积为，则V（）；（A）)2(32hrh；（B）)3(32hrh；（C）)2(2hrh；（D）)3(42hrh.6、曲线422xxy上点)4,0(0M处的切线TM0与曲线)1(22xy所围图形的面积S（）；（A）;49（B）94；（C）1213；（D）421.7、抛物线pxy22)0(p自点)0,0(至点),2(pp的一段曲线弧长L=（）；(A)pppln)21ln(22；(B))21ln(22212ppp；(C))21(ln22pp；(D))21ln(22p.8、曲线xhry，hx0，轴绕x旋转所得旋转体的侧面积S（）；（A）22hrr；（B）22hrh；（C）22hrhr；（D）222hrr.二、在区间e,1内求0x一点，使,0,lnyxy1y及0xx所围成两块面积之和为最小.三、设曲边梯形是由连续曲线)(xfy)0)((xf，轴x与两直线bxax,所围成的，求证：存在直线x)),((ba将曲边梯形的面积平分.四、求摆线)cos1()sin(tayttax，)20(t1、轴绕x旋转一周所成曲面的面积；2、轴绕y旋转一周所成曲面的面积.五、有一旋转体，它由曲线211xy，轴y，轴x以及直线1x所围成的平面图形轴绕y旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴的距离，求它的质量.六、以a每秒的流量往半R径为的半球形水池内注水1、求在水池中水深)0(Rhh时水面上升的速度；2、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？测验题答案一、1、A；2、D；3、B；4、D；5、B；6、D；7、A；8、A.二、410ex.四、1、2364a；2、2216a.五、)41(2.六、1、)2(2hRhadtdh；2、44Rw.