5-4不定积分的概念与性质

第四节不定积分的概念与性质一不定积分的概念二不定积分的性质三基本积分表一、不定积分的概念dxxf)(定义在区间内，函数的带有任意常数项的原函数，称为在区间内的不定积分，记为)(xfI)(xfI任意常数被积表达式积分号积分变量CxFdxxf)()(例1求dxx23233)(xxCxdxx323xxcos)(sinCxxdxsincosxx1lnCxdxxln1解:解:xdxcos例2求dxx1例3求解:例4设曲线通过点(2，5)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程。Cxxdx22解：设曲线方程为)(xfy根据题意知xdxdy2即是的一个原函数)(xfx2由曲线通过点(2，5)代入上式，得,C1所求曲线方程为12xy显然，求不定积分得到一积分曲线族。函数的原函数的图形称为的积分曲线。)(xf)(xfCxxf2)(必某个常数使C)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。二、不定积分的性质1.2.3.dxxfkdxxfkdxxfkxfk)()()()(22112211设为非零常数21,kk)1(1)2(1CxdxxCxxdxln3三、基本积分表1dxx211)4(CxarctankCkxkdx()1(是常数)xdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotxdxsin)7(Cxcosxdxcos)6(Cxsindxx211)5(Cxarcsinxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexdxax)13(Caaxln例5求dxx41CxCxdxxdxx3144431141Cxdxxdxxxdxxx121112112112155CxxCx6213132132dxxx5例6求解：解：例7求dxexx22Ceedxedxexxxx)2ln()2()2(22222Cexx22ln22解:dxxx)1213(22例8求dxxx)1213(22dxxdxx22112113Cxxarcsin2arctan3解：解：dxxxx)1(12222dxxdxx11122dxxxxx)1()1(2222Cxxarctan1例9求dxxxx)1(12222例10求dxxx124解:dxxx11124dxxdxxxx111)1)(1(2222Cxxxarctan313例11求xdx2tandxx)1(sec2xdx2tandxxdx2secCxxtan解:例12求dxxxx)2sin2(cos2sin解:dxxxx)2sin2(cos2sindxxx)2cos1sin21(xdxdxxdxcos2121sin21Cxxx)sincos(21例13求dxxx22cossin1解：dxxxxxdxxx222222cossincossincossin1dxxdxx22sin1cos1Cxxcottan说明：以上几例的被积函数都需要通过代数或三角函数恒等变形，利用不定积分的性质，才能把所求的积分化为基本积分表中已有的形式，再求出不定积分。这种方法叫做直接积分法。