搜索
MathStudioforiPad使用方法入门（14）中国古算之刘徽割圆术（二）2015年3月12日2015/3/281析理以辞，解体用图刘徽在中国古代数学史研究中，有两条需要严格遵守的原则，即：原则一：所有研究结论应该在幸存至今的原著基础上得出。原则二：所有结论应该利用古人当时的知识、辅助工具和惯用的推理方法得出。吴文俊摘自《祖冲之算π之谜》由此，要探讨刘徽割圆术，首先必须从阅读、理解割圆术原文开始。为此，查阅了手头能见到的《文渊阁四库全书》（台湾商务印书馆）中的《九章算术》及《续修四库全书》中的《九章算经》和《九章算术细草图说》（后面简称《细草图说》）,还有《算经十书》（郭书春刘钝校点辽宁出版社1998年版）。《细草图说》是清代嘉庆庚辰版，经清人李潢整理加图注，较易读懂，按其原文进行抄录，加句读，分段；为了搞清原文计算过程中数据的含义，附加了跟踪演算旁注，以便对照查看。古文难懂，错误难免，欢迎指正。2015/3/282刘徽割圆术注记原文引自《续编四库全书》之《九章算术细草图说》2015/3/2832015/3/2842015/3/2852015/3/286唐李淳风在刘徽注后加的注释刘徽割圆术注记原文（一）术曰：“半周半径相乘得积步”。按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面与圆径之半，其数均等。合径率一而弧周率三也。又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，犹有余径，以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径；表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辙自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此以周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者从其六觚之环耳。以推圆规多少之覺，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精覈(he核），学者蹱古,习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方；方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率；恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。“半周半径相乘得积步”-“广”、“从”—矩形的长与宽矩形面积=广×从圆面积A=R×L/2=2πR/2×R=πR2当R=1时，圆的半周长、圆面积与π的数值相等觚（gu）—圆内接正多边形，弧——圆周的一段“余径”—圆心至圆内接正多边形一边作垂直线，延伸至圆周，余径=半径-边心距（“小勾”）cn=R-sqrt(R2-(an/2)2)小勾幂+小股幂=小弦幂即余径2+半面2=倍边的边长2a2n=sqrt((an/2)2+cn2)化简后整理得a2n=sqrt(R-sqrt(R2-(an/2)2))=sqrt(2R-sqrt(4R2-(an)2))当R=1时，a2n=sqrt(2-sqrt(4-(an)2)))=sqrt(2-sqrt(1-(an/2)2))六边形一边长×半径=2个菱形面积=十二边形面积的1/3即A2n=an×R×n/212边形的面积=3这是运用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的极限概念2015/3/287（二）▲割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里六觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为勾，为之求股；以勾幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，开方除之，下至秒、忽；又一退法，求其微数；微数无名者以为分子，以十为分母，约作五分忽之二；故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二；以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求弦，其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之；开方除之，即十二觚之一面也。▲割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股；置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即勾幂也；以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四；以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小勾，觚之半面又谓之小股，为之求小弦，其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之；开方除之，即二十四觚之一面也。原文往往不算出倍边后的边长，只记下“小弦幂”即倍边长的平方值，这是为了取其值的1/4，直接用于后续的计算，以减少计算量圆半径R=1尺=10寸内接正六边形边长=10寸“半面”即半边长=5寸“股”即圆心至六边形边的距离√(102-52)=√(75)=8.660254“小勾”即“余径”10-8.660254=1.339746,正十二边形的边长√(1.3397462+52)=√(26.7949193445)=5.176380902“小弦幂四而一”-十二边形边长平方的1/4,即半边长的平方6.6987298圆心至边距：√(102-6.6987298361)=9.65925826余径=10-9.65925826=0.340741738正二十四边形的边长√(6.6987298361+0.340742)=2.6105238原文中使用的十进制长度单位名称：尺寸分厘毫秒忽，忽以下以分数计原文计算过程取有效数字最高达12位，一般计算器只10位有效数字，有截尾误差、舍入误差。2015/3/288正二十四边形的边长2.6105238取半，平方，得1.7037087366圆心至正二十四边形边距：√(102-1.7037087366)=9.914448余径=10-9.91444=0.085552正四十八边形的边长√(1.7037087366+0.085562)=√(1.7110278713)=1.30806按A2n=an×R×n/2得正九十六边形面积=1.30806×10×24=313.9344=313+584/625寸2▲割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股；置上小弦幂四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即勾幂也；以减弦幂，其余开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四；以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小勾；觚之半面，又谓之小股；为之求小弦，其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之；开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽；余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。2015/3/289▲割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股；置次上弦幂四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，则勾幂也；以减弦幂，其余开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九；以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小勾；觚之半面又谓之小股，为之求小弦，其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之，开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。重复前述操作过程，得内接正九十六边形的边长=0.65438寸按A2n=an×R×n/2得内接正一百九十二边形的面积=0.65438×10×48=314.1024寸2=314+64/625寸22015/3/2810▲以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂；倍之，为(六百二十五)分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六，所谓以弦乘矢之凡幂也；加此幂于九十六觚之幂得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣；故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率，而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之得六尺二寸八分即周数；令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率；方幂二百其中容圆幂一百五十七也；圆率犹为微少。按：弧田图合方中容圆，圆中容方，内方合外方之半，然则圆幂一百五十七其中容方幂一百也；又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也，周率犹为微少也。正一百九十二边形的面积-正九十六边形的面积=(314+64/625)-(313+584/625)=105/625寸2从右图可看出差幂=A2n-An即△ABC的面积差幂×2=ABFE的面积=an×cn=210/625面积增量=实线部分ABFE面积/2313+584/625+210/625=314+169/625此数包含了圆周外AECFB部分，大于圆面积了取圆面积为314寸2，圆周长=2×314/10=62.8寸圆的半径=1尺=10寸外切正方形面积=20×20=400寸2内接正方形面积=10√(2)×10√(2)=200寸2圆周率=圆周长/直径≈62.8/20=628/200≈157/50（徽率）这是按192边形面积，不加增量反推计算得圆周率的数据2015/3/2811（三）晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：“律嘉量斛，内方尺而圆其外，庣（tiao）旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗”，以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少。而斛差幂六百二十五分寸之一百五；以一百九十二弧之幂为率消息，当取此（六百二十五）分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四，置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七，圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也；以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者盖尽其纤微矣，举而用之，上法仍约耳，当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。关于新莽铜斛这一段，颇费解，不知其形体详情，应作何运算？刘徽在得圆周率=157/50之后，将这个数值与当时国家级的度量衡标准器（律嘉量斛）新莽铜斛的直径和容积相比对检验，发现3.14这个数值还是偏小，于是又用加成法把圆周率值提升到3927/1250,相当于继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积。清人李潢认为此段非刘徽语，疑为祖冲之语（见另页）正192边形面积=314+64/625差幂=105/625,取36/625≈(105/625)/3按A192AA192+(A192-A96)取A=A192+(A192-A96)/3（1/3是什么？另页说明）补差幂后的192边形面积=314+64/625+36/625=314+100/625=314+4/25=7854/25寸2192边形半周长=(7854/25)/10=7854/250寸圆周率=半周长/半径=(7854/250)/10=7854/2500=3927/1250（徽率）这是按192边形面积，加增量后反推计算得圆周率的数据2015/3/2812这是按割圆术原文的计算过程，MathStudio的计算单，可参照6边形一边的边心距，即“小股”“余径”12边形的边长2，“小弦幂”“小弦幂四之一”12边形一边的边心距12边形的余径24边形的边长224边形一边的边心距24边形的余径48边形的边长96边形的面积48边形的边心距48边形的余径96边形的边长192边形的面积2015/3/2813半径=10寸的圆内接正方形半边长内接正方形半边长+庣旁0.095，作为斛内圆半径以徽率计算斛内圆面积，得数稍偏小，≈162斛内面积162寸2，以祖冲之密率113/355反推半径值面积162反推得斛内圆直径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽半径=10寸的圆内接正方形边长反推得斛内圆直径与圆内接正方形边长之差庣旁一分九毫有奇刘歆所说“庣旁少一厘四毫有奇”关于新莽铜斛按清人李潢《细草图说》中的注解列算如左图MathStudio计算单，可窥探铜斛概貌及“庣旁九厘五”、“少一厘四毫”的含义2015/3/28142015/3/281