随机信号分析

1第二章随机信号分析2.1随机过程的基本概念2.2平稳随机过程2.4高斯过程2.5窄带随机过程2.6随机过程通过线性系统22.1随机过程的基本概念随机过程是时间t的函数在任意时刻观察，它是一个随机变量随机过程是全部可能实现的总体34分布函数与概率密度：设表示一个随机过程，（t1为任意时刻）是一个随机变量。F1（x1，t1）=P{≤x1}的一维分布函数如果存在则称之为的一维概率密度函数)(t)(1t)(1t)(t),(),(1111111txfxtxF)(t5的n维分布函数n维概率密度函数n越大，Fn，fn描述的统计特性就越充分nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)({),,,;,,,(22112121nnnnnxxxtttxxxF212121),,,;,,(),,,;,,(2121nnntttxxxf)(t)(t6数学期望与方差E[]=D[]=E{-E[]}2=E[]2-[E]2=协方差函数与相关函数用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性协方差B（t1，t2）=E{[-a（t1）][-a（t2）]}=)(),(1tadxtxxf)(t)(2t)(t)(t)(t)(t)(t)]([11tax)(1t)(2t212121222),;,()]([dxdxttxxftax7相关函数R（t1，t2）=E[]=B（t1，t2）=R（t1，t2）-E[]E[]，表示两个随机过程互协方差函数互相关函数212121221),;,(xddxttxxfxx)(1t)(2t)(1t)(2t)(t)(t),(21ttB)]}()()][()({[2211tattatE)]()([),(2121ttEttR82.2平稳随机过程任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关),,,;,,(2121nnntttxxxf),,,;,,(2121nnntttxxxf任意的n和因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔有关。均值（2）方差（3）相关函数R（t1，t2）=（4）（1）dxtxxftE),()]([adxxxf)(2)]()([tatEdxtxfax),()(222)()(dxxfax212121221),;,(xddxttxxfxx)()(21RttR9均值，方差与时间无关相关函数只与时间间隔有关满足（2），（3），（4）广义平稳（宽平稳）满足（1）狭义平稳（严平稳）时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取平均x（t）为任意实现22)(1limTTTadttxT2222])([1limTTTdtatxT22)()()(1limTTTRdttxtxT10平稳随机过程，其实现为x1（t），x2（t），…xn（t），如其时间平均都相等，且等于统计平均，即a=则称平稳随机过程具有各态历经性。各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简化计算。)(ta22)()(RR)(t11相关函数与功率谱密度)(t为实平稳随机过程，其自相关函数性质：（1）R（0）=E[]=S的平均功率（2）R（）=R（-）R（）是偶函数（3）)(2t)(t)0()(RR证明：2)]()([ttE)]()()(2)([22ttttE)]()([2)0(2ttER0)(2)0(2RR)()0(RR12（4）的直流功率（5）的交流功率任意确定功率信号f（t），功率谱密度)(t)(t)]([)(2tER2)()0(RR)(SPTFPTTS2)(lim)()(TF是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均，某一实现之截短函数)()(TTFt)(tTFEPEPTTS2)(lim)]([)()()(RPdPS)(2113你应该知道的：傅里叶变换记为：F（jω）=F{f（t）}f（t）=F-1{F（jω）}dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)(14的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系例：某随机过程自相关函数为R（），求功率谱密度。解：)(tdteRptj)()(tsR其它,02,2)(222dtetj2212tjejjeejj242228Sa1516例求随机相位正弦波的自相关函数与功率谱密度，常数，在（0，2）均匀分布。解)sin()(0tt0)][sin()(0tEta]sincoscos[sin00ttE0)]()([),(2121ttEttR0cos21)]()([cos000)(2)(2)(00P21)0(RS21)(21dPs172.3高斯过程任意的n维分布都服从正态分布的随机过程一维概率密度函数a数学期望，均方差，方差f（x）关于x=a对称f（x）在单调上升，单调下降或且有)2)(exp(21)(22axxf2),(a),(axx0)(xf1)(dxxf21)()(aadxxfdxxf1819分布函数概率积分函数误差函数互补误差函数dzazxFx]2)(exp[21)(22)()(axxF)2(211)2(2121)(axerfcaxerfxFaxaxdzzxx)2exp(21)(2xzdzexerf022)(xzdzexerfxerfc22)(1)(202.4窄带随机过程窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频)(Scfcf21同相分量正交分量为零均值，平稳高斯窄带，确定统计特性)](cos[)()(tttatc0)(tatttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats)(t)(ta)(t)(tc)(ts22结论1：推导：由于平稳，零均值，即任意t，均有0)]([)]([tEtEscttEttEtEcsccsin)]([cos)]([)]([)(t0)]([tE0)]([)]([tEtEsc23结论2：同一时刻不相关，或统计独立。cs0)0(csR0)0(scR),(ttR)]()([ttE)]()([ttEcc)(coscosttcc)]()([ttEsc)(sincosttcc)]()([ttEcs)(cossinttcc)]()([ttEss)(sinsinttcc),(ttRc),(ttRsc),(ttRcs),(ttRs平稳)(t)(),(RttR24令t=0显然要求令同理可得ctttRRccos]),([)(0ctttRscsin]),([0)(),(ccRttR)(),(scscRttRccsccRRRsin)(cos)()(ct2cccssRRRsin)(cos)()(（1）（2）25由（1），（2）可得根据互相关函数的性质，应有是的奇函数有同理可证即同一时刻不相关，或统计独立。)()(scRR)()(csscRR)()(csscRR)()(cscsRR（3）)(csR0)0(csR0)0(scRcs26由（1），（2）还可得平均功率相等即方差相等结论3：，是高斯过程证：当)0()0()0(scRRR222sc)(tc)(ts01t)()(11ttcct22)()(22tts)(1tc)(2ts故：是高斯随机变量。)(tc)(ts是高斯过程27重要结论：均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，均值为零，方差相同，在同一时刻得到的及不相关，或统计独立。cs28统计特性服从瑞利分布服从均匀分布)(),(ttaa]2exp[)(222aaaf0a21)(f2029理想的宽带过程—白噪声n0为常数白噪声的自相关函数仅在时才不为零，故白噪声只有在时才相关，在任意两个时刻上随机变量都不相关。2)(0nP)(2)(0nR0030带限白噪声对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量)(p20n0f0f31021f021f32例：限带3400Hz的语音信号和加性噪声，以fs=6800Hz的速率对x（t）进行抽样tX(t)=s(t)+n(t))()()(ssskTnkTSkTX)]()([)(ssxkTXkTXER)()()()(nssnnsRRRR)(sR332.5随机过程通过线性系统线性系统响应v0（t），输入vi（t），冲激响应h（t）线性系统是物理可实现的，则或当输入是随机过程时，输出为dthvtvi)()()(0)()()(0ivHvdthvtvti)()()(0dtvhtvi00)()()()(ti)(0t00)()()(dthti34假定输入是平稳随机过程，考察的特性)(ti)(0t)]([0tE00])()([)]([dthEtEi0)]([)(dtEhi（平稳性）)]([tEi0)()]([dhtEi000)()()0(dtethHHtj0)(dtth)0()]([)]([0HtEtEi1、352、的自相关函数由平稳性输出过程是广义平稳的。)(0t),(110ttR),(110ttR)]()([1010ttE01)()([dthEi01])()(dthi010)([)()(tEhhiddti)](1)()]()([11iiiRttE),(110ttR)()()()(000RddRhhi363、的功率谱密度令则)(0t)(0P)(0PdeRj)(0deRhhddji])()()([00)(0P00)()(dehdehjjdeRji)()()()(*iPHH)()(2iPH374、输出过程的分布将改写为和式：可知：若为正态随机变量也为正态随机变量高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。)(0t00)()()(dthtikkkkihttk