随机信号分析与处理基础r2

第一节随机信号的描述1随机信号及其概率结构（1）随机信号相关的基本概念：﹡“样本空间”（或称“集合”）：用来表示随机信号的全部可能观测到的波形记录的集合，用X(t)表示；﹡“样本函数”（或称“实现”）：用于表示“样本空间”中每一个确定波形的函数，用x(t)表示；﹡随机信号的样本集合：X(t)={xi(t)},i=1,2,…。t=t1时，随机信号的状态为X(t1)={xi(t1)},i=1,2,…，为一个数值集合。﹡随机信号的理解方法：将其看作随机变量的时间过程，分为连续时间随机信号和离散时间随机信号。–例汽车车架垂直加速度时间历程记录曲线图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验记录。x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合，称为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个样本，记作xn(t)。由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明确的函数式描述。在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变量。全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量的集合。这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。概率结构：随机信号是随时间变化的随机变量，用概率结构来描述。对于离散型随机变量，用概率描述；对于连续型随机变量，用概率密度描述。1）一维概率分布函数表示随机信号X(t)在t1时刻的取值不大于x1的概率。2）一维概率密度函数表示随机信号在t1时刻的取值落入[x1,x1+△]极小区间的平均概率。3）n维联合概率分布函数：4）n维联合概率密度函数：在实际中，往往只考虑一维和二维的概率分布函数和概率密度函数。(1;)[(1)1]FxPXtxt10(1;)[1(1)1](1;)lim1FxPxXtxpxxt1t1•随机信号分类–平稳随机信号–非平稳随机信号噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异–平稳信号•统计特性不随时间的推移而变化的随机信号。噪声信号(平稳)任意时刻ti的随机变量X(ti)求集合平均有11()lim()nxikinktxtn若不依赖于采样时刻ti，μx(ti)为常值，即μx(ti)=μx，则这种随机信号为平稳信号。1.随机信号在时域的数字特征•数字特征包括均值(或数学期望)、均方值、方差、相关函数、协方差函数、功率谱等。连续时间随机信号的数字特征离散时间随机信号的数字特征连续时间随机信号的数字特征•均值（或数学期望）：随机信号x(t)的所有样本函数在同一时刻取值的统计平均值。–离散随机信号的均值：–连续随机信号的均值：为随机变量x(t)各个样本的摆动中心。[()]()(;)()xEXtxtpxtdxmt()1[()]()()nNnnEXtxtPt()xmt对于平稳随机信号：均值为一个与时间无关的常数，相当于信号的直流分量。﹡均方值：用于表示随机信号的平均功率，表达式为：对于平稳随机信号：其均方值仍为一个与时间无关的常数。[()]()xEXtxpxdxm22[()]()(;)EXtxtpxtdx22[()]()EXtxpxdx﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随机信号取值分散性的度量。表达式为：其中，—均方差；对于平稳随机信号：可见其方差也为一个与时间无关的常数。222[()][(()())][()()](;)()xxxDXtEXtmtxtmtpxtdxt()xt2)2[()](()xxDXtxmpxdx﹡相关函数与协方差函数：1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表达式为：当t1=t2=t时，有：表明：随机信号的均方值是它的自相关函数在t1=t2时的特例。对于平稳随机信号：可见其自相关函数是时间间隔的函数。121212121212(;)[()()]()()(,;,)xxRttEXtXtxtxtpxxttdxdx2(;)[()()]()(;)xxRttEXtXtxtpxtdx12121212(;)(,;)()xxxxRttxxpxxdxdxR2）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：当t1=t2=t时，有：对于平稳随机信号：可见其自协方差函数也是时间间隔的函数。1211221212(;)[(()())(()())](;)()()xxxxxxxxCttEXtmtXtmtRttmtmt22(;)[(()())]()xxxxCttEXtmtt121212(;)(;)()()()xxxxxxxxCttRttmtmtC3）互相关函数：用于研究两个随机信号x(t)和y(t)的相互关系，表达式为：其中，表示两随机信号的二维联合概率密度函数；表示两随机信号之间的线性依赖关系。对于平稳随机信号，当满足下面条件时：有：12121212(;)[()()]()()(,;,)xyRttEXtYtxtytpxyttdxdy12(,;,)pxytt12(;)xyRtt21tt12(;)(,;)()xyxyRttxypxydxdyR4）互协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：对于平稳随机信号：可见互协方差函数也是时间间隔的函数。1211221212(;)[(()())(()())](;)()()xyxyxyxyCttEXtmtYtmtRttmtmt121212(;)(;)()()()xyxyxyxyCttRttmtmtC平稳随机信号的均值、方差、均方值是与时间无关的常量，相关函数及协方差仅是时移τ的函数，与随机信号的起止时刻t无关。平稳随机信号最重要的特点是随机信号在不同时刻具有相同的统计特征。与平稳随机信号相反，非平稳随机信号的统计特性是随着时间的推移而变化的。平稳随机信号的重要性质22(0)[()],(0)REXtCxxx()(),()()RRCCxxxx(0)(),(0)()RRCCxxxxxxxxX(t)X(tT),()(),()()TTRRCCxxxxxxxx若则2X(t),()m,()0RCxxxxx若平稳随机信号不含任何周期分量则例：一个随机信号，其中、均为常数，为区间均匀分布的随机变量，求该随机信号x(t)的均值、均方值、方差、自相关函数及自协方差函数。00()cos()XtAwt0A0w•解：随机变量在区间均匀分布，它与时间无关，故其一维、二维概率密度均为：•根据式（6-15）求得该随机信号的均值为：•根据式（6-20）求得该随机信号的自相关函数为：[0,2]1(),022p20001[()]()cos()02xEXtxpdAwtdm1212001002001002200(;)[()()][cos()cos()]cos()cos()()cos2xxRttEXtXtEAwtAwtAwtAwtpdAw•其中，根据式（6-24）求得其自协方差函数为：•根据式（6-25）求得该随机信号的方差为：•根据式（6-26）求得该随机信号的均方值为：22200120()(,)cos()22xxxAAtCttwtt22220[()]()()2xxAEXttmt201212120(,)(,)()()cos2xxxxxxACttRttmtmtw21tt﹡时间平均表征量：1）随机信号x(t)的时间均值：2）随机信号x(t)的时间相关函数：﹡各态遍历性随机信号：在一定条件下，平稳随机信号的每一个样本都同样地经历了随机信号其它样本的各种可能状态，因而从一个样本的统计特性（时间平均）就能得到全部样本的统计特性（集平均），此类信号称为各态遍历性随机信号。﹡各态遍历性随机信号的数字特征：先通过简单的实验方法或数学方法得到一个各态遍历性随机信号的均值、自相关函数，再运用关系式得到其它数字特征量。1()lim()2TTTXtxtdtT1()()lim()()2TTTXtXtxtxtdtT各态遍历性随机信号及其数字特征各态遍历性随机信号的意义•可以用时间充分长的单个样本函数的时间平均统计参数来代替总体的平均统计值，这给试验信号处理带来了极大的方便。﹡离散时间随机信号：时间t的取值是离散的随机信号x(t)。﹡数字特征：与连续时间情况并无不同，只是时间变量t应变为限取整数的变量n。如，此时总集均值E[X(t)]应表示为：﹡遍历性随机序列：对于一个平稳随机序列X(n)，若其各种时间平均以概率1收敛于相应的集合平均，则称其为遍历性随机序列。()[()]()(;)xmnEXnxnpxndx离散时间随机信号的数字特征（1）连续时间情况﹡功率谱（或称功率谱密度函数）：设xi(t)是随机信号x(t)的一个样本，不满足傅立叶变换所要求的平方可积条件，故将其截短，形成,即：将上式进行傅立叶变换，结合帕斯瓦尔得平均功率谱表达式为：﹡随机信号的功率谱：,()()0iTixttTxttT,()Tixt1()()2iiiPpwdwpfdf21()[()]lim[()]2TxTSwEPwEXwT随机信号的频域描述﹡维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：平稳随机信号x(t)的功率谱是它的自相关函数的傅立叶变换；而x(t)的自相关函数是其功率谱的傅立叶反变换。用公式表述如下：()xSw()xxR()()jwxxxSwRed1()()2jwxxxRSwedw﹡互谱（或称互功率密度谱）：对于两个随机信号X(t)、Y(t)，若它们是平稳相关的，则其互谱为：﹡互谱与互相关函数的关系：为一组傅立叶变换对，满足：1()lim[()()]2xyTTTSwEXwYwT()()jwxyxySwRed1()()2jwxyxyRSwedw•例：求随机相位余弦信号的功率谱及平均功率。•解：设随机相位余弦信号为，其中、均为常数，为区间均匀分布的随机变量。•由例6-1得自相关函数为：则根据维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理得此功率谱为：平均功率为：00()cos()XtAwt0A0w200()cos2xxARw002002[()()]0()()cos212jwxxxj220001(0)cos220xxxApRwA（2）离散时间情况上述维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理同样适用于离散时间序列，故可以求平稳随机序列的功率密度谱，以及序列的自相关函数。﹡离散时间信号功率谱的特点：1）功率谱是周期性的，因此可作傅立叶级数分解；2）反演变换的积分区间是。()xS()xxRm第二节随机信号通过线性系统的分析•随机信号通过线性系统时，可能出现的两种情况：（1）平稳情况（稳态）：如果输入是平稳随机信号，系统是线性时不变且稳定的，则当系统完成过渡过程进入稳态后，输出也应该是平稳的随机信号；（2）非平稳情况（暂态）：即系统进入稳态前的过渡过程。1平稳随机信号通过连续系统（1）系统响应的时域分析设一线性时不变系统的单位冲激响应为h(t),当时，其输出零状态响应Y(t)的表达式为：1.输出Y(t)的均值：2.输出的Y(t)自相关函数：3.输入与输出之间的互相关函数：或t()()()()()YtXththXtd()()(0)yxxmtmhdmH()()()()yyxxRRhh