随机信号的功率谱密度

第四章随机信号的功率谱密度对随机过程的频域分析只能研究其功率谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带宽以及与系统的相互作用等问题。4.1功率谱密度tts),(dtts)(dtetsStj)()(dSdtts22)(21)(若一个确定信号，满足狄氏条件，且绝对可积，即满足：则s(t)的傅立叶变换存在，为：S()与s(t)满足Parseval定理：一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：TTTdttxTW2)(21limf(t)OtfT(t)tOT2－T2……图：f(t)及其截断函数2/02/)()(TtTttftfT2/2/)()()(TTtjTtjTTdtetfdtetfFdeFtftjTT)()(fT(t)的傅立叶变换存在：W是样本函数的平均功率dFTdFTddtetfFTdtdeFtfTdttfTWTTTTTTTTtjTTTTTtjTTTTTTT222),(21lim2121|),(|21lim]),([21),(21lim]),(21)[,(21lim),(21lim将上式代入信号平均功率表达式中得:所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数:1、当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到信号的总功率；2、描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况；2),(21limTTFT正具有了上述特性。它代表了随机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱密度函数。记为Gf(,)。2),(21lim),(TTfFTG]),([21lim]),(21lim[)],([)(22TTTTffFETFTEGEGdGdXETdttfETdttfETWEWfTTTTTTTT)(21]),([21lim21])([21lim]),([21lim][222对所有的（实验结果）取统计平均得：dXETdttfETtfEWEWTTTTT]),([21lim21])([21lim)]([][222dGRtfEWff)(21)0()]([2或2),(21lim)(TTfFTG功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律的最主要的数字特征。Gf()仅表示了f(t)的平均功率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位信息。若f(t)为各态历经过程,则有:4.2功率谱密度与自相关函数之间的关系),(),(),(),(),(2TTTtjTTXXXdtetxXTTTTttjTTTTTtjTTTtjTTXdtdtetXtXETdtetxdtetxTEG21)(2122111221)]()([21lim]),(),(21[lim)(]),([21lim)(2TTfFETG由得:TttTtXtXEttRTTXT),()]()([),(212121dedtttRTddtettRTttttdtdtettRTGjTTXTtTtTTTjXTTTTTttjTX),(21lim),(21lim,),(21lim)(12121)(2112TTXTXdtttRTR),(21lim)(deRGjXX)()(deRGjXX)()(设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集合平均自相关函数,即:deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(上式称为维纳—辛钦定理。说明：1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率；3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有限功率等效于无限的功率谱密度。4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含有直流或周期性成分的平稳过程中。4.3功率谱密度的性质性质一：非负性,GX()0;性质二：GX()是实函数；性质三：GX()是偶函数；性质四：性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密度；)()(2XXGG4.4互谱密度及其性质),(),(),(),()]}()()][()({[),(ttRttRttRttRtYtXtYtXEttRYXXYYXZ)()()()()(YXXYYXZRRRRR两个随机过程之和构成新的随机过程，即：Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数：若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳，则：deRdeRGGGjYXjXYYZZ)()()()()(Z(t)的谱密度GZ():deRGdeRGjYXYXjXYXY)()()()(其中：称为互功率谱密度。TXYEGTYXEGTTTYXTTTXY2)],(),([lim)(2)],(),([lim)(一、互谱密度：设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分别为：，则互功率谱：),(),(TTYX、二、互谱密度的性质)()()(*YXYXXYGGG)](Re[XYG)](Re[YXG)](Im[XYG)](Im[YXG0)(XYG性质一：性质二：和是的偶函数；和是的奇函数；性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：)(2)()(YXYXXYmmGG性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则：性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积，则互谱密度GXY()、GYX()分别和互相关函数RXY()、RYX()构成傅立叶变换对。三、相干函数21)]()([)()(YXXYXYGGG4.5白噪声与白序列,2)(0NGN一白噪声的定义及特性：一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数，即：的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。式中，N0是正实常数。GN(),FN()N0N0/20RN()N0/20(a)功率谱密度(b)自相关函数白噪声的自相关函数：)(2221)(00NdeNRjN)0()()()0()()()0()()(NNNNNNNNNRRRRRRCC0,00,1)(N)(N白噪声的相关系数为:二、热噪声热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。其功率谱密度为：kTRffNEfGUNU22)]([)(2三、噪声系数和温度)/()/(ooiiNSNSF噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输出端信噪比之比。即：四、白序列（RND伪随机序列）0,00,)(2kkkRZZ)()(2kkRZZ,)(2ZZG设随机序列Zn的自相关函数满足：或对于白序列其功率谱：五、限带白噪声otherwiseWGN,0,)(sin)(WRN若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱，而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。自相关函数：/-GN()00/-/2/-2/WRN()图低通限带白噪声otherwiseWGN,0||,)(000cossin)(WRN4.6功率谱估值的经典法,,,,,,,,121012Nxxxxxx)10(Nnxn谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个实现：中的有限长序列段，或者说N个数，如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度GX()。谱估值的主要目的：揭示其周期性。一、两种经典谱估值的方法2)(1)(ˆNXXNG)10(NnxN1、周期图法本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计量，对于有限N，有：式中，XN()是的N点DFT。2、Blackman-Tukey(BT法)kkTjXXsekRG)()(NNkkTjXXsekRG)(ˆ)(ˆ由维纳—辛钦定理的离散形式：对有限个数据，谱估值为：二、经典谱估值的改进LiLijjNiGLG)(ˆ121)(1、平均法：2、平滑法：将全部数据用来计算出一个周期图，然后在频域将其平滑，即：三、谱估值的一些实际问题csccsffft221或nscscnnttnttXtX)()(sin)(ˆ1、数据采样率：随机信号采样定理：设平稳随机信号X(t)的功率谱的最高频率为fc，则取采样间隔：采样值为Xn，则有采样展开式：0])()(ˆ[2tXtXE)(ˆtX且在均方意义下逼近于X(t)，即：2、每段数据的长度L应满足频率分辨力的要求。3、数据总长度数据总长度N=分段数K*每段点数L；4、数据预处理4.7复随机过程的功率谱密度deRGjZZ)()(deGRjZZ)(21)(若过程Z(t)是平稳的，则复过程Z(t)的功率谱密度：由傅立叶反变换可得：若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和Zk(t)的互谱密度为：deRGjZZZZkiki)()(deGRjZZZZkiki)(21)(4.8功率谱密度的计算举例教材P102—P106：例4.8—例4.104.9随机过程的高阶统计量简介二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息，而高阶统计量则保持了相位信息，高阶统计量在所谓盲信号处理（盲系统辩识、盲信道均衡信号分离等）有重要的应用，高阶统计量还有一些特性使得近年来人们对它开展了广泛的研究。][),,(][),(3213212121XXXEXXXCumXXEXXCum][][][][][][][),,,(32414231432143214321XXEXXEXXEXXEXXEXXEXXXXEXXXXCum对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应的二阶、三阶、四阶累量分别定义为：)]()()([),()]()([)(2121,3,2tXtXtXECumtXtXECumXX)()()()()()()]()()()([),,(21,23,213,22,232,21,2321321,4XXXXXXXCumCumCumCumCumCumtXtXtXtXECum对于零均值随机过程X(t)，其相应的二阶、三阶、四阶累量分别定义为：4.10谱相关的基本理论简介),(),(00TTtRtRXXmXtjRtRX)2exp()(),(0/Tm)(XR若对某个T0,满足如下关系：则称X(t)为广义周期平稳过程。展开成