随机变量的数字特征

在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，而只需知道该随机变量的某些特征。例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析，一般并不需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学生成绩这一随机变量的特征。用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。常用的数字特征：数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方差、相关系数。第一节随机变量的数学期望例1某工厂生产一批产品，一等品占50%，二等品占40%，次品占10%。如果生产一件次品，工厂要损失1元钱，生产一件一等品，工厂获得2元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得1元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？设X表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，其概率分布为2110.50.40.1kXp解：解：假设工厂一共生产了N件产品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件这N件产品获得的平均利润为12321(1)nnnN或者写为31221(1)nnnNNN312nnnNNNN、、分别为件产品中一等品、二等品、次品出现的频率而在大量重复试验下当N无限增大时，频率的稳定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋近于12321(1)ppp20.510.4(1)0.11.3或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每件产品获得1.3元的利润。数值1.3称为随机变量X的数学期望或均值。一、离散型随机变量的数学期望第一节随机变量的数学期望定义设离散型随机变量的概率分布为：X,1,2,,iiPXxpi若绝对收敛，则称为随机变量的数学期望或均值，记为，即1iiixpXEX1.iiiEXxp1iiixp注：度量了随机变量取值的加权平均！为权重！EXX(1,2,)ipi第一节随机变量的数学期望例甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为89100.10.30.6kXp89100.20.50.3kYp试问哪一个人的射击水平较高?二、连续型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量的概率分布为：X,1,2,,iiPXxpi若，则称为随机变量的数学期望或均值。1iiixp1iiixpX离散连续概率ip密度函数()fx定义设随机变量的密度函数为,若绝对收敛，则X()fx称为随机变量的数学期望或均值，记为X+-()xfxdx+-().EXxfxdx+-()xfxdx,01()2,12.0,otherwisexxfxxx例3.3设随机变量的密度函数为X求的数学期望。XEX解由连续型随机变量数学期望的定义，有()EXxfxdx0120120++(2)0xdxxxdxxxdxxdx122201+(2)1.xdxxxdx三、随机变量函数的数学期望定理设为随机变量，为实函数，X()ygx为求的数学期望，可以不必通过求的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用的概率分布或密度函数。()YgXYX,1,2,,iiPXxpi若绝对收敛，则存在，且()EgX（1）设为离散型随机变量，概率分布为X1()=().iiiEgXgxp1)(iiipxgX()fx+-()()().EgXgxfxdx（2）设为连续型随机变量，密度函数为，若则存在，且()EgXdxxfxg)()(绝对收敛，解=00.1+10.6+20.3=1.2EX，2222=(01.2)0.1+(11.2)0.6+(21.2)0.3=0.36.EXEX22=()EXxfxdx解01222220120++(2)0xdxxxdxxxdxxdx,01()2,12.0,otherwisexxfxxx例3.4设随机变量的概率分布为X0120.10.60.3P求2.EXEXX例3.5对例3.3中的随机变量，求X2.EX12323017+(2)=.6xdxxxdx四、数学期望的性质（1）若，则，特别地bXabEXa.CEC.aaEXXE（3）（2）.aEXaXE.baEXbaXE（4）第二节随机变量的方差有可能产品的寿命均集中在950~1050小时！有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集中在1300小时！对随机变量，知道了它的数学期望，虽然对该随机变量有了一定的了解，但还不够！XEX例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿命为1000小时，即，但不能完全肯定质量的好坏！1000EX质量稳定！质量相对不稳定！有必要找一个量，能够度量随机变量相对于的偏离程度。XEX什么量，能够度量随机变量相对于的偏离程度？XEX?EXX不能！EXX是随机变量?)(EXXE不能！.0)(EXEXEXXE（正负偏差相互抵消）?EXXE不便于计算！2EXXE定义设随机变量的数学期望为，则称为随机变量的方差，记为，或，并称为的标准差。XEX2EXXE)(XD)(XVarXX)(XD方差的计算：2)(EXXXg考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：，因此X若为离散型随机变量，概率分布为，则,2,1,ixXPpii.)(122iiipEXxEXXEXDX若为连续型随机变量，概率密度函数为，则)(xf.)()(22dxxfEXxEXXEXD在很多场合，计算方差经常用到如下公式：.)(22EXXEXD2222)(EXXEXXEEXXEXD222EXEXEXEXE.222222EXXEEXEXXE方差的性质：;0)(CD（1）（2）);(XDCXD（3）;2XDCCXDdxxfxXE)(22,01()2,12.0,otherwisexxfxxx例3.6设随机变量的密度函数为X解由例3.3的结果，求的方差X).(XD.1)(XE.670)2(02221210202dxxdxxxxdxxdxx.61)(22EXXEXD例3.7对任意随机变量，设，令，X0)(XD)(XDEXXY求).(),(YDYE解1()0.()()XEXEYEEXEXDXDX11()1.()()()XEXDYDDXEXDXDXDXDX称为的标准化，它是一个无量纲的随机变量，将原分布中心移至原点，且方差为1个单位。XY()EX证例3.8对随机变量，设存在，令，证明X()DX2()lCEXC当时，达到最小值，且最小值为()CEX()lC.DX22()lCEXCEXEXEXC222EXEXXEXEXCEXC222EXEXEXEXEXCEEXC2()DXEXC因此当时，达到最小值，且最小值为()CEX()lC.DX第三节常用分布的数学期望和方差一、常用离散型分布的数学期望和方差1.退化分布：离散型随机变量只取常数，即，X1PXcc22()1,()=0.EXccDXEXEXEcc2.0-1分布：离散型随机变量的概率分布为X1,01,PXpPXpq因此因此()10,EXpqp222()10,EXpqp222()().DXEXEXpppq3.个点上的均匀分布：n4.二项分布：,0,1,,,kknknPXkCpqkn1,1,2,,.iPXxinn离散型随机变量的概率分布为XX，即离散型随机变量的概率分布为1211111(),nniiEXxxxxnnnn因此222221211111(),nniiEXxxxxnnnn22222221111111()()=.nnnniiiiiiiiDXEXEXxxnxxnnn~(,)Xbnp,0,1,,,kknknPXkCpqkn.)1(2222npqnpnppnnEXXEDXknknkknknkknqpknknkqpCkEX00)!(!!则1!(1)!()!nknkinpqknk1(1)(1)1(1)!(1)!(1)(1)!nknkinnppqknk1.nnppqnp2201!(1)!()!nnkknkknkniinEXkCpqkpqknk11!!(1)(1)!()!(1)!()!nnknkknkiinnkpqpqknkknk22(2)(2)2(1)(2)!(2)!(2)(2)!nknkinnpnpqnpknk2(1).nnpnp5.几何分布：1=1,1,2,,kPXkppk随机变量的概率分布为X112111111.kkkkEXkpppkpppp1211,1(1)kkkxxx1122232112211,kkkkppEXkpppkpppp21311+,1(1)kkxkxxx2222221().pqDXEXEXppp6.超几何分布：,0,1,,min,.knkMNMnNCCPXkknMC随机变量的概率分布为X,0,1,,min,.knkMNMnNCCPXkknMC2222()+.DXEXEX2()(),().(1)MnMNMNnEXnDXNNN（证明略）7.泊松分布：随机变量的概率分布为,0,1,,!kPXkekkX101,!(1)!kkkkEXkeeeekk220111!(1)!kkkkEXkekekk21(2)!(1)!kkkkeekk21221(2)!(1)!kkkkeekk2，二、常用连续型分布的数学期望和方差1.均匀分布：,otherwise0,1bxaabxf密度函数为ba,连续型随机变量服从区间上的均匀分布，X01()()00babEXxfxdxdxxdxdxba则211=.22bbaaxabxdxbaba而2202221()()00=,3babaabbEXxfxdxdxxdxdxba从而222222()()().3212aabbabbaDXEXEX2.指数分布：连续型随机变量服从参数为的指数分布，X,0,00,xxex