随机变量的数学期望

下回停第一节随机变量的数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、应用实例一、数学期望的概念1.问题的提出1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念—数学期望A、B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局、B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?引例1分赌本问题(产生背景)A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局、B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局:AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为41043200),(150元而B能“期望”得到的数目,则为43041200).(50元故有,在赌技相同的情况下,A、B最终获胜的可能性大小之比为3:1.即A应获得赌金的而B只能获得赌金的,43.41因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:2000其概率分别为:4341设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现需要选拔其中的一名参加运动会,根据过去的记录显示,二人的技术水平如下:乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0试问哪个射手技术较好?引例2选拔运动员解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.因而甲、乙两射手的平均水平分别为甲射手击中环数概率10983.01.06.0乙射手击中环数概率10982.05.03.0,)(3.96.0101.093.08:环甲),(1.93.0105.092.08:环乙引例3加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课成绩分别为,,,,21nxxx其学分分别为nωωω,,,21,则称niinnxnxxxx1211显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种而,,1111njjiiniiinjjiiniωωωvvxωωxx其中为该生的加权平均成绩.ωx则称nvi1,可见加权平均才充分的体现了特例,即平均值的意义.通过上述3个引例,我们可以给出如下定义2.离散型随机变量的数学期望.,2,1,kpxXPkk若级数1kkkpxkkkpx1,则称绝对收敛,即级数1kkkpx的和为随机变量X的数学期望,记为EX,即.1kkkpxXE定义3.1设离散型随机变量X的分布律为注1ºEX是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.注2º级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.设随机变量X服从参数为n,p二项分布,例1(二项分布)设随机变量X~Bn,p,求EX.解则有3.常见离散型随机变量的数学期望,1knkknppCkXP.,,2,1,0,10nkpnkkXPkXE0nkknkknppCk01其分布律为同时可得两点分布B1,p的数学期望为p.npknknkppknkkn1!!!011111!11!1!1knknkppknknnp11111!11!1!1knknkppknknnp11kppnp解则有例2(泊松分布),e!-λkkλkXP.0,,2,1,0λke!0kkXEkkλkλkkλ11-!1e.eeλλλλ因而泊松分布P的数学期望为.λ设X,且其分布律为λP设随机变量XP(),求EX.解这是因为例3(几何分布)设随机变量X的分布律为.10,,2,1;1,1pkpqpqkXPk111111kkkkkkqpqkppqkXE.111122pppqp1111xxkxkkkk.111x则有p1设随机变量X服从几何分布,求E(X).分布分布律E(X)01分布X~B(1,p)kkppkXP1)1(}{k0,1p二项分布X~B(n,p)knkknppCkXP)1(}{k0,1,2,…,nnp泊松分布λPX~λkkλkXPe!,k0,1,2,…几何分布ppkXPk1)1(k1,2,…1p常见离散型分布的数学期望小结4.连续型随机变量数学期望的定义定义3.2设连续型随机变量X的分布密度为,d绝对收敛若积分xxxp,dxxpx则称积分xxxpd的值为随机变量X的.dxxxpXE即数学期望,px,记为EX,即例4(均匀分布)解则有5.常见连续型随机变量的数学期望设随机变量X服从均匀分布,.0,1其它bxaabxpxxabxxxpXEbad1d.21ba因而均匀分布数学期望位于区间的中点.其分布密度函数为设,,~baUX求E(X).ba21则有解例5(正态分布).,0,eπ21222xσσxpσμxxxxpXEdxσxσμxdeπ21222设随机变量,求EX.),(~2σμNX设,其分布密度函数),(~2σμNX所以xσxσμxdeπ21222XEttσμtdeπ212-2tμtdeπ2122ttσtdeπ222.μtσμxtσμx令μ因而参数为正态分布的数学期望.μ例6(指数分布),0.0,0,0,eλxxλxpxλ其中xxxpXEdxλxxλde0.1λxxxλxλdee00其概率密度为服从指数分布设随机变量,X求EX.解λ1解例7(伽玛分布)0,e)(Γ0,0)(1xxαβxxpxβαα0de)(Γxxαβxβαα0de)(Γyαβyxβyyα)(Γ)1(Γαβα.βα当1时,X服从指数分布Exp,这时.1βXEβαXE设随机变量X,则密度函数为βα,设随机变量X,求EX.βα,分布名称概率密度EX均匀分布其他,0],[,1baxabxp2ba正态分布222eπ21σμxσxp指数分布0,00,exxλxpxλλ1伽玛分布0,e)(Γ0,01xxαβxxpxβααβα常见连续型分布的数学期望小结例8解但是6.数学期望不存在的实例设离散型随机变量X的分布律为,2,1,2121kkXPpkkkk由于.ln1111kkpxkkkkk.111kkkkkpx因而其数学期望EX不存在.求EX.二、随机变量函数的数学期望xxxpXEd1kkkpxXE(一)一维随机变量函数的数学期望1.问题的提出XE(X)数学期望f是连续函数,f(X)是随机变量,如:aX+b,X2等等.f(X)数学期望XfE如何计算随机变量函数的数学期望?方法1(定义法):f(X)是随机变量,按照数学期望的定义计算Ef(X).2.一维随机变量函数数学期望的计算关键:由X的分布求出f(X)的分布.见2.3节的相关内容难点:一般f(X)形式比较复杂的,很难求出其分布.方法2(公式法):定理3.1设X是一个随机变量,Yf(X),则当X为离散型时,P(Xxk)pk,(k1,2,…);当X为连续型时,X的密度函数为p(x).为连续型为离散型XxxpxfXpxfXfEYEkkk,d,1求E[f(X)]时,只需知道X的分布即可.证现在只证明定理的特殊情形:设X的密度函数为,,XfYxpX函数fyyfyfpyffffXyfxd))())((())((111)(1)()(xxpxfXdyyfyfpyXffd))())(((11单调连续,xf1y为其反函数,并且可导,同时y,则即βαYβαXyyypyyfyfypd)(d))(())((11xxpxfXfEYEXd)()()(αβXβαXyfyyfyfypyfyyfyfyp0))((,d))())(((0))((,d))())(((111111例9设某种商品的需求量X是服从[10,30]上的均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元.若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利300元.为使商品所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.(考研试题)解设进货量为a,则利润为aXXaXXaaXaXH10,10050030,300500aXaXXaaX10,10060030,200300因此期望利润为3010d201xxHXHEaaxaxxax1030d)200300(201d)100600(201因此即最少进货量为21单.,928052503505.72aa,263220a解得aaxx30)2002300(2012.52503505.72aa10)1002600(2012aaxxXHE对于二维随机变量而言,其函数的数学期望计算方法可以由类似于定理3.1得到.1.二维离散型情形(二)二维随机变量函数的数学期望设X,Y为二维离散型随机变量,ZfX,Y为二元函数,如果EZ存在,ijjjiipyxfYXfEZE11),(,其中X,Y的联合概率分布为pij.2.二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量,ZfX,Y为二元连续函数,如果EZ存在,则yxyxpyxfdd),(),()],([)(YXfEZE其中X,Y的联合概率密度为px,y.例10设X,Y的分布律为.0.24.032.024.01XE得XY12310120.10.10.10.10.10.0030.Xp1234.02.04.0解X的分布律为求EX,EY,].)[(),/(2YXEXYE因为(X,Y)的分布律为.03.014.003.01YE得Y的分布律为Yp10