第7章 连续概率分布

2020/1/29商学院1统计学statistics李欣先Email:[e-mail]@163.com2020/1/29商学院2第7章连续概率分布（continuousProbabilityDistributions）第1节均匀分布（uniformdistribution）第2节正态分布（thenormalprobabilitydistribution）第3节指数分布（exponentialdistribution）2020/1/29商学院3随机变量的分布函数,,()XxPXxx随机变量对实变量应为的函数,,()()XxFxPXxX随机变量对任意实数称函数为的概率分布函数，简分义：称定布函数。12210()()()PxXxFxFx()Fx的几何意义：1)0()1FxxX()Fx的性质：2)()()0()1FxFF单调不减，且，2020/1/29商学院4例：设随机变量X的分布律为X-123pk1/41/21/4求X的分布函数，并求p(x≤1/2),p(3/2x≤5/2),p(2≤x≤3)。2020/1/29商学院5例：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。2020/1/29商学院6连续型随机变量及其概率密度（probabilitydensityfunction）定义：对于随机变量X的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有：(),fx()()xFxftdt(),Fx,x()fx其中称为X的概率密度函数，简称概率密度。则称X为连续型随机变量，2020/1/29商学院7与物理学中的质量线密度的定义相类似()()PxXxxfxx00()()()()'()xxFxxFxPxXxxfxFxlimlimxx()fx的性质：1)()0fx+2)()1fxdx21122112()()()0xxxxxxPxXxftdtPXa3)对于任意的实数，4)()'()()fxxFxfx在连续点，()fx即在的连续点()fxXx表示落在点附近的概率的多少()yfx1x2x1面积为12PxXx2020/1/29商学院8例：设X的概率密度为(1)求常数c的值；(2)写出X的概率分布函数；(3)要使求k的值。解：2()3PXk，01()29360cxfxx其他1()ftdt1()FxPXx22()()4.53PXkFkk3使160329cdtdt23c13c010103001013113312363916xxxdtxdtxdtdtxx003011313(23)/93616xxxxxxx2020/1/29商学院9连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的数学期望方差xxxfXEd)()(2d)()()(xxfXExXD2020/1/29商学院10其他,010,2)(xxxpdxxxpXE)()(•例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解32322103102xdxx102xdxx2020/1/29商学院11其他,010,101,1)(xxxxxp•例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X)。解01100)1()1()(dxxxdxxxXE于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6011022261)1()1()(dxxxdxxxXE2020/1/29商学院12均匀分布(uniformdistribution)若随机变量X的概率密度函数为称X在[a,b]上服从均匀分布，记为X~U[a,b]数学期望和方差其他01)(bXaabxf12)()(;2)(2abXDbaXE2020/1/29商学院13均匀分布(概率计算)随机变量X在某取值范围[a,b]的任一子区间[c,d]上取值的概率为同样有：abcddXcP)(abaccXP)(abcbcXP)(2020/1/29商学院14均匀分布(例题分析)【例】某公共汽车站从早上6时起每隔15分钟开出一趟班车，假定某乘客在6点以后到达车站的时刻是随机的，所以有理由认为他等候乘车的时间长度X服从参数为a=0，b=15的均匀分布。试求该乘客等候乘车的时间长度少于5分钟的概率解：概率密度函数为落入区间[0，15]的任一子区间[0，d]的概率是，其他0150151)(xxf15)0(ddXP等候乘车的时间长度少于5分钟即有d=5，因此该事件发生的概率等于5/15=1/32020/1/29商学院15例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。1,12()30,xfx其他2(0),3PX2(10,)3Yb2821021(2)33PYC(0)PX解：X在区间(-1,2)上均匀分布设10个数中有Y个数大于0，则：2020/1/29商学院16Twomajordifferencesstandoutbetweenthetreatmentofcontinuousrandomvariablesandthetreatmentoftheirdiscretecounterparts.1.Wenolongertalkabouttheprobabilityoftherandomvariableassumingaparticularvalue.Instead,wetalkabouttheprobabilityoftherandomvariableassumingavaluewithinsomegiveninterval.2020/1/29商学院172.Theprobabilityofacontinuousrandomvariableassumingavaluewithinsomegivenintervalfromx1tox2isdefinedtobetheareaunderthegraphoftheprobabilitydensityfunctionbetweenx1andx2.Becauseasinglepointisanintervalofzerowidth,thisimpliesthattheprobabilityofacontinuousrandomvariableassuminganyparticularvalueexactlyiszero.Italsomeansthattheprobabilityofacontinuousrandomvariableassumingavalueinanyintervalisthesamewhetherornottheendpointsareincluded.2020/1/29商学院18正态分布设A到B的真实距离为U，X为测量值，则服从什么分布2020/1/29商学院19正态分布(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布经典统计推断的基础xf(x)2020/1/29商学院20概率密度函数xxfx,eπ21)(22212f(x)=随机变量X的频数=正态随机变量X的均值=正态随机变量X的方差=3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值(-x)2020/1/29商学院21正态分布函数的性质图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x=处均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于12020/1/29商学院22和对正态曲线的影响称μ为位置参数(决定对称轴位置)σ为尺度参数(决定曲线分散性)xf(x)CAB=1/21=12020/1/29商学院23标准正态分布(standardizethenormaldistribution)xxx,eπ21)(223.标准正态分布的概率密度函数随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布)1,0(~NXZ4.标准正态分布的分布函数xtxttxxdeπ21d)()(2-22020/1/29商学院24)(1)(zz1)(2aazp)()(abbxap)()(abbzap2020/1/29商学院25例：2~(,)XN()()(1)(1)2(1)10.6826PXPX(2)2(2)10.9544PX(3)2(3)10.9974PX查书后附表99.74%3268.26%2395.44%2020/1/29商学院26正态分布(例题分析)【例】定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态分布，那么全公司中有多少比例的职员每周的加班津贴会超过70元，又有多少比例的职员每周的加班津贴在40元到60元之间呢？解：设=50，=10，X～N(50,102)02275.097725.01)2(1)105070(1)70(1)70(ΦΦXPXP6826.018413.021)1(2)1()1()105040()105060()6040(ΦΦΦΦΦXP2020/1/29商学院27例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？2()(169.7,4.1)XcmN(175)PX解：(1)5175(5,),0.0985cmbpp(2)设人中有Y人身高大于，则Y其中175169.71()4.11(1.293)10.90150.0985查表5(1)1(0)1(1)0.4045PYPYp1145(1)(1)0.3253PYCpp2020/1/29商学院28某市准备通过考试招聘300名公务员，其中280名正式工，20名实习工。实际报考人数为1657名，考试满分400分，考后不久，通过当地新闻媒体得到如下信息：考试平均成绩是166分，360分以上的高分考生31名。某考生A的成绩为256分。他能被录取吗？若被录取，能否是正式工？2020/1/29商学院29二项分布的正态近似连续性修正因子（continuitycorrectionfactor）2020/1/29商学院30430.0008460.000637440.0016610.00134450.00310.002656460.0055030.004963470.0092890.0