电路第八章演示文稿

§8.1复数1.复数的表示形式+1+j0FbajbaFFb+1+ja0θ|F|代数形式：F=a+jb三角形式：向量形式：一个复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示。)sin(cossincosjFFjFF取复数的实部和虚部分别表示为：Re[F]=a，Im[F]=bab|F|:称为复数的模θ:称为复数的辐角指数形式：FF极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写利用欧拉公式：sincosjejjeFFFb+1+ja0θ|F|极坐标形式：在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐标形式之间的相互转换1）F=a+jbFFabarctg;22baF2）FFF=a+jbsin;cosFbFa*两种转换中均要注意所在的象限，从而确定的大小例：将以下复数转换为极坐标形式F1=3+j4；F2=3–j4；F3=-3+j4；F4=-3–j4解：有F1=3+j4=5∠53.13ºF2=3-j4=5∠-53.13ºF3=–3j4F4=–3-j4=-(3j4)=-5∠53.13º=5∠-126.87º13.5334--arctg54322由13.5334arctg=5∠126.87º=-(3-j4)=-5∠-53.13º+1+j0-3+4F3θ=126.87º-4F4θ=-126.87ºa.复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行b.复数的加减运算也可用四边形法则在复平面上进行F=F1+F2+1+j0F1F22.复数的运算复数的加减运算例如：设F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,则)()(221121jbajbaFF)()(2121bbjaa复数的乘除运算a.复数的乘除运算可以用代数形式进行例如：设F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,))((221121jbajbaFF221121jbajbaFF2222211222222121)()()()(bababajbabbaa-则)()(12212121babajbbaa-))(())((22222211jbajbajbajba--2121FFb.复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行212121jjeFeFFF2121221121-FFFFFF两个复数的相乘，用指数形式进行,有两个复数的相除，用极坐标形式有用极坐标形式表示,有221121FFFF模相乘辐角相加)(2121jeFF复数ejF逆时针旋转一个角度，模不变Fej旋转因子另有F=|F|∠,FejFej'Fj+10=cos+jsin=1∠则=|F|∠1∠|F|∠jjej2sin2cos2jjej----)2sin()2cos()2(1)sin()cos()(-jej+j、-j、-1都可以看成旋转因子由于所以/2j,-/2-j,-1,ejFj+10jF§8.2正弦量凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。*本书用余弦函数表示正旋量正弦量的优点：i)正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。ii)在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。iii)正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。Ri1.正弦量的三要素(1)Im—幅值(振幅、最大值)(3)i=(t+i)|t=0—初相位(初相)(t+i):称为i(t)相位角或相位(2))(ittdd—角频率，单位：弧度/秒(rad/s)以电流为例)cos(I)(mitti正弦量的三要素T=2，=2/T=2f,f的单位为赫兹—Hz(1/s)与正弦量的周期T和频率f的关系：i与计时零点选择有关，通常|i|，即在主值范围取值。i(t)=Imcos(t+i)ImΨi=0ti2itiImΨi0tiImΨi0i2.同频率正弦量的相位差(phasedifference)设u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)u与i的相位差j=(t+u)-(t+i)=u-i＝常数j0，u领先(超前)i，或i落后(滞后)uj0，i领先(超前)u，或u落后(滞后)i*不同频率正弦量无固定的相位关系tu,iuiuij0规定：|j|(180°)特殊相位关系：j=0，同相：tu,iui0j=(180o)，反相：tu,iui0tu,iui0j=90°，称为正交u领先i90°或i落后u90°3.正弦量的有效值(effectivevalue)i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期量在一个周期内的平均效应相等的直流量。TTTdtiRtdiRdttpW02002)(tdiRRTIT022令RTIW2设周期电流i通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：Ri设直流电流I通过电阻R，电阻在时间T内吸收的能量为：RI解得：TdttiTI02)(1此即有效值的定义，又称为均方根值电压有效值为TttuTU02d)(1设i(t)=Imcos(t+i)，ttITITid)(cos1022mTtttttTTT2121d2)(2cos1d)(cos0002ii）正弦电流、电压的有效值IIIITITI2,707.0221mmm2m即有)cos()cos()(mtItIti2因此，I可以替代Im作为正弦量的一个要素，即工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。但电器设备的绝缘水平—耐压值按最大值考虑。注意:只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之间无倍的关系。I2Im2又所以§8.3相量法的基础1.相量法的理论基础在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则电路的全部稳态响应都将是同频率的正弦量—这是一个基本的结果。从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约束关系），同频率正弦量的代数和（KCL和KVL）等运算，其结果仍是一个同频率的正弦量。基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，ω是已知的常数，正弦量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。])(2Re[tjjeIe2.正弦量的相量)cos(2tIi复函数)tj(e2)(ItF)sin(2)cos(2tIjtI则由i的有效值和初相角构成的复常数即i与jeI构成了一一对应关系称jeI称为正弦量i(t)的相量,并记为IIeIj])(Re[tF]2Re[)(tjIe解：A30100oI已知例1.试用相量表示i,u。i=141.4cos(314t+300)Au=311.1cos(314t-600)V)cos(2)(tUtu正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位对于正弦电压V60220o-UUU解：A)cos(o15314250ti例2.试写出电流的瞬时值表达式。.50HzA,1550ofI已知总之,由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系,给出一个正弦量,就可以写出它相应的相量;反之,知道一个正弦量的相量,则该正弦量也就被确定。3.相量图iiIItωosIti)(c)(2uuUUtosUtu)(c2)(iuUI相量图:相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。4.正弦量运算转换为相应相量运算(1)同频率正弦量的代数和)2(R)cos(2)(j1111teUetUtu)()()(21tututu)2(R)2(Rj2j1tteUeeUe)22(Rj2j1tteUeUeteUUej21)(2R而teUetuj2R)(所以：teUej2RteUUej21)(2R21UUU上对任何t都成立，所以总有：)2(R)cos(2)(j2222teUetUtu拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：nuuuu21nUUUU21niiii21nIIII21即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。i2i1i解：1）由KCL，有：)30cos(6)45cos(22tt)45sinsin45cos(cos22tt-)30sinsin30cos(cos6tt-Attt)38cos(23.5sin22.3cos12.4-例1：电路如图，,)30cos(62Ati求电流i。,)45cos(221Ati解：2）由已知，有：AjI224521AjI866.05.0303,2则i的相量为：AjIII3869.328.291.221所以Ati)38cos(269.321iii同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V)9.41314cos(267.9)()()(o21ttututuV604V,306o2o1UU464.6196.7j60430621UUU464.323196.5jjV9.4167.9o+1+j301U602U9.41U+1＋j301U9.41U602U例2：V)60314cos(24)(V,)30314cos(26)(o21ttuttu求u=u1+u2。解：有：（2）正弦量的微分证明：iII∴tdid的相量为：2iIIj)cos(2)(itIti设问题：已知正弦电流i（它的相量为I）,di/dt是与i同频率的正弦量，求di/dt的相量。结论：di/dt的相量为Ij则dtdi]2Re[tjeIdtd])(2Re[tjeIj)]2(Re[tjeIdtd(3)正弦量得积分证明：iII)cos(2itIi设idt问题：已知正弦电流i（它的相量为I）,正弦量，求是与i同频率的idt的相量。idt结论：的相量为idtjIdteItj]2Re[])2(Re[dteItj])(2Re[tjejI2-iIjIdti相量为的即：小结①正弦量相量时域复数域②同频正弦量的运算转化为相应相量的运算iII)cos(2)(itItiuUU)cos(2)(utUtunnIIIIiiii2121di/dt的相量为Ij的相量为jIidt例3：已知：Ati)45314cos(2301Ati)45314cos(2302-求电流i。解：由KCL:i=i1+i2，故AI01453AI02453-45345321-III23223223223-jjAti314cos6i