蒋中一动态最优化基础

第一章动态最优化的性质第二章变分法的基本问题路径值集合（实线）允许的路径集合（曲线）泛函的概念通常函数：从实数到实数的映射。泛函：从路径（曲线）到实数的映射。目标泛函的概念连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息：无限小的一条弧（1）开始时间t（2）开始状态)(ty（3）弧的前进方向dtdyty/)(t)(ty)(ty存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：)]('),(,[tytytF目标泛函就是弧值之和：TdttytytFyV0)]('),(,[][例：垄断企业的利润函数垄断企业的动态需求函数：),(PPDQddsQQ),(PPDQs垄断企业的总收益函数：),(PPRPQR垄断企业的总成本函数：)],([)(PPDCQCC垄断企业的总利润函数：),()],([),(PPPPDCPPRCR加总T期的总利润函数，得到目标泛函：TdtPP0),(如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：TdtPPt0),,(第一节欧拉方程变分法的基本问题最大化或最小化),()()()0(..)](),(,[)(0给定给定ZTZTyAAytsdttytytFyVT一、欧拉方程的推导TdttptytptytFV0)]()('),()(,[)(**)(ty)(ty0)()0(Tpp)(*ty)(tp)()()(*tptytyT0ytAZ)()()(*tptyty)()(')(*tptytydttytytFyVT)](),(,[)(0变为：一、欧拉方程的推导dttptytptytFVT)]()('),()(,[)(**0)(ty)(ty0)()(00TTyydttpFdttpFddV（2.14）步骤1首先用来表示V，并求导：)(*ty)(tp)()()(*tptytyytT我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：莱布尼兹法则：badtxtFxI),()(TTdtdydyFddyyFdtFddV00)(dttpFtpFTyy0)()(baxdtxtFdxxI),()(对于函数步骤2dtdtdFdtdtdvdvydttpdtdtdudu)(和令yFv和。于是我们得到：)(tpu把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到：btatbtatbtatudvvuvdu（2.15）根据分部积分公式：0)()(00TTyydttpFdttpFddV以上推导得到：TyTyTydtFdtdtptpFdttpF000)()()(TydtFdtdtp0)(0)()(00TTyydtFdtdtpdttpFddV步骤3由于是任意的，因此可以得到：)(tp0yyFdtdF对于所有],0[TtyyFdtdF或对于所有],0[Tt欧拉方程)81.2()18.2(（2.17)以上推导得到：0)()(00TTyydtFdtdtpdttpFddV对推导得到的进行整理：ddV0)(0dtFdtdFtpTyyTTyydtFdtdtpdttpFddV00)()(步骤4因为F是一个具有三个自变量的函数所以偏导数也是具有三个同样自变量的函数。),,(yyt)()(tyFtyFFdtydyFdtdyyFtFdtdFyyyyytyyyyyF把它代入(2.18)式，即，得：0yyFdtdF0)]()([tyFtyFFFyyyyyty0)()(yytyyyyFFtyFtyF0yyFdtdF以上推导得到欧拉方程：欧拉方程的另一种形式)18.2()19.2(dtyytyVT)()(20具有边界条件：1)1()0(yy例1求下列泛函的极值曲线。2yytF0yFytFy2yyFdtdF根据欧拉方程，可得：0yFdtd常数yF常数yt2121cty212*41ctcty根据直接积分，得,1)1()0(yy由于,14121cc和所以141412*tty因此，极值曲线为：dtyytyVT)()(20具有边界条件：是自由的并且TyyT,10,1)0(例2求下列泛函的极值曲线。2yytF0yFytFy2yyFdtdF根据欧拉方程，可得：0yFdtd常数yF常数yt2121cty212*41ctcty根据直接积分，得,1)0(y由于,12c所以10yt01122*41)(ctctty根据水平终结线的横截条件：0][TtyFyF2yytFytFy20)2(2ytyyyt代入水平终结线横截条件。和（在t=T处）02y0y14112*tcty通解为1*21'cty021)(1*'cTTyTc211,10Ty水平终结线1041212cTcTyT即361cT一、多个状态变量的情况第二节欧拉方程的推广dtyyyytFyyVnnTn],,,,,,[,,1101当给定问题中具有个状态变量时，泛函变为：1n并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。个变量的欧拉方程组为：n0jyyjFdtdF对于所有],0[Tt)27.2(),,2,1(nj这几个方程与边界条件一起,可以确定解)(,),(**1tytyn二、高阶导数的情况那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:dtyyyytFyVnT],,,,,[)(0考虑一个含有的高阶导数的泛函，即：)(ty并且都有一对初始条件和终结条件,即共有个边界条件。)1(,,,,nyyyyn2可以转化为含有个状态变量及其一阶导数的一个等价函数：n1)1(21,,,nnxyxyxy设dtxxxytFxxyVnnTn],,,,,[,,,111011一、社会损失函数第三节通货膨胀和失业之间的折衷与的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示：YYfp)0()(YYpf)40.2(预期通胀率的形成被假定为自适应的：其中，表示预期通货膨胀率。其中，为实际收入，为理想实际收入，为实际通货膨胀率。YfYp)10()()(jpjdtd)41.2()0()(22pYYf社会损失函数为：)39.2(由（2.40)式和(2.41)式，得：)(YYfj重新整理，得：jfYY)()42.2(（2.42)式代入(2.40)式，得：)(jp)43.2(（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数：)()(),(2jj)44.2(二、问题三、解路径满足0)0(二阶导数：Ttdte0),(政策制定者的目标：最大化和0)(T)(给定TteF),(被积函数为：F的一阶导数：tejjF)1(2222tejF)(2tejF)1(2222tejF2ttejjF)1(2222公式（2.19）给出了具体的必要条件：0其中01)(22jj由于这个方程是齐次的，它的特解是0，它的通解是它的余函数：trtreAeAt2211*)([通解]其中421,221rr并且可知，0021rr和设和，并利用边界条件得：0tTt021AA02211TrTreAeA解这两个方程，得：trtrtreeeA21201trtrtreeeA211020,00,02121AArr[欧拉方程]第三章可变端点横截条件预备知识：对定积分的求导baxdtxtFdxdI),(badtxtFxI),()(对于函数（1）莱布尼兹法则——对定积分的求导（2.6)定理如果)(xF在],[ba上连续，则积分上限的函数dttFxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xFdttFdxdxxa)(bxa（2）积分上限函数的求导（2.8)dttFdttFdttFxaxxxxa)()()(,)(xxxdttF由积分中值定理得xF)(],,[xxxxx,0),(Fx)(limlim00Fxxx).()(xFx证：dttFxxxxa)()()()(xxxdttFdttFxaxxa)()(abxyoxx)(xxabxyoxx)(xxdttFxxa)()(（3）对积分下限函数求导)()(xaxaF证：)()()()()(xabbxadttFdttFx)()()()()(xaxaFdttFdxdxxabbxadttFdxdx)()()(根据对积分上限函数求导的公式，得：（2.9)(4)如果定积分具有如下形式：)(),(),(xbxxbFdtxtFdxdKbax)(),()(xbadtxtFxK根据（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)可变终结点问题：),()()()0(..)](),(,[)(0自由给定TTTyTyTyAAytsdttytytFyV假设是已知的最优终结时间，在邻近的任何值可以表示为*T*TTTTT*由于已知并且是一个预选的量，所以，T可被视为的一个函数，其导数为*TT)(TTddT第一节一般性横截条件T是的一个函数，所以函数V中积分上限随着的变化而变化。)(0)]()('),()(,[)(**TdttptytptytFV)(ty)(ty*Ty*T*)(ty最大化或最小化dtFdtdtptpFdtFtpdtFTyTyTyT0000)()]([)(推导一般的横截条件：步骤1)(0)]()('),()(,[)(**TdttptytptytFVddTTyTyTFdtFddVT)](),(,[)(0（3.6）（3.6）式第二项:TFddTTyTyTFTt][)](),(,[根据上一章的推导过程,得（3.6）式第一项:dtFT0)(][])[(0TpFdtFdtdFtpTtyTyy0][)(][])[(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyy把这些代入(3.6)，并令，得：0ddV第40页（3.7）步骤2通过把转化为含和)(TpTTyTTyTpyT)()(TTyyTpT)()(（3.8）*T*Ty*)(ty步骤3把（3.8）式代入（3.7），得：0][)(][])[(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyy（3.7）0][)(][][])[(0TFTTyFyFdtFdtdFtpTtTtyTTtyTyy0][][])[(0TTtyTtyTyyyFTFyFdtFdtdFtp0])[(0dtFdtdFt