专题三 曲线运动与万有引力定律

专题三曲线运动与万有引力定律抓基础探技法研考向提能力[备考方向要明了]主要问题在力作用下的曲线运动及行星和卫星的运行问题主要考点①运动的合成与分解；②平抛运动；③圆周运动；④万有引力定律的应用主要方法①运动的合成与分解的思想；②应用临界条件处理临界问题的方法；③等效的思想方法主要策略复习时要领会运动的合成与分解的思想，理解竖直面内圆周运动的临界条件；有关天体、卫星、宇宙飞船等信息题目注意把握两点：万有引力与向心力的关系、万有引力与重力的关系。同时要重视对综合问题的分析。一、曲线运动1．曲线运动的条件和轨迹F合与v不共线，且合力总是指向曲线的凹侧。2．合运动与分运动的关系等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止独立性一个物体同时参与几个分运动，各个运动独立进行不受其他分运动的影响等效性各个分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果说明合运动是物体的实际运动3．两类问题(1)船过河问题①要求最短时间过河，则船头必须垂直指向对岸，不论船速与水流速度的关系如何。②要求过河的位移最短，则要区分两种情况：图3－1A．当船在静水中的速度v1大于水流速度v2时，最短过河位移为河宽d，如图3－1所示，船头指向上游与河岸的夹角α＝arccosv2v1。B．当船在静水中的速度v1小于水流速度v2时，过河的最短位移为x，如图3－2所示，船头指向上游与河岸的夹角为θ＝arccosv1v2，最短位移x＝v2v1d。图3－2(2)“关联”速度问题绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的速度称之为“关联”速度。关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等。如图3－3所示，两图3－3物体A和B通过不可伸长的绳连在一起，则两物体沿绳方向的分速度大小相等，即vA＝vBcosθ。(1)合运动的性质及轨迹决定于合外力和初速度两个方面，只要合外力是恒力，合运动就是匀变速运动，初速度方向如果与合外力在一条直线上，则轨迹是直线，否则就是匀变速曲线运动或圆周运动。(2)合运动的位移、速度、加速度都可用分运动的位移、速度、加速度为邻边的平行四边形的对角线来表示。二、平抛(类平抛)运动的两个推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。如图3－4所示因为x－x′y＝vxvy，图3－4y＝vyt/2，x＝vxt联立解得：x′＝x/2。(2)做平抛或类平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处设其瞬时速度与水平方向的夹角为θ、位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ因为tanθ＝yx－x′，tanφ＝yx，又x′＝x2故tanθ＝2tanφ。分析平抛(类平抛)运动问题，一定要画好示意图，搞清位移关系、速度关系，特别是在速度vx、vy、v构成的速度三角形和位移x、y、s构成的位移三角形中，明确已知量、未知量是解题的突破口。三、竖直面内圆周运动的两种模型的比较最高点无支撑(绳模型)最高点有支撑(杆模型)实例球与绳连接、水流星、翻滚过山车球与杆连接、车过拱桥、球过竖直管道、套在圆环上的物体等图示在最高点受力重力、弹力(F弹向下或等于零)，mg＋F弹＝mv2R重力、弹力(F弹向下、向上或等于零)，mg±F弹＝mv2R恰好过最高点F弹＝0，mg＝mv2R，v＝Rg，即在最高点速度不能为零v＝0，mg＝F弹，在最高点速度可为零对于绳模型，若物体在轨道最高点运动速度vgR，物体将从轨道上掉下来而不能达到最高点；对于杆模型，物体在轨道最高点，若运动速度vgR时，弹力向下，当vgR时弹力向上，当v＝gR时弹力为零。四、万有引力定律的应用1．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系GMmr2＝F向＝ma―→a＝GMr2―→a∝1r2mv2r―→v＝GMr―→v∝1rmω2r―→ω＝GMr3―→ω∝1r3m4π2T2r―→T＝4π2r3GM―→T∝r3越高越慢可见，卫星运行轨道半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在着一一对应的关系，若r、v、ω、T、a中有一个确定，则其余皆确定，与卫星的质量无关。2．同步卫星(1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。(2)由GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)，同步卫星都在赤道上空相同的高度上。所有地球同步卫星r、v、ω、T、a大小均相同。3．估算中心天体的质量和密度(1)当卫星绕行星或行星绕恒星做匀速圆周运动时，根据题目提供的不同条件，在下面四种情况下都可求解中心天体的质量：①若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r，根据GMmr2＝mg，得M＝gr2G；②若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据GMmr2＝mv2r，得M＝rv2G；③若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，由GMmr2＝m4π2T2r，得M＝4π2r3GT2；④若已知卫星运行的线速度v和周期T，根据GMmr2＝mv2πT和r＝vT2π，得M＝v3T2πG。(2)要想求中心天体的密度，还要知道中心天体的半径R，由M＝ρV和V＝43πR3求天体的密度。4．“双星系统”“双星”是两颗相距较近的星，它们围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统。(1)卫星的向心力由万有引力提供，地面上的物体随地球自转做圆周运动的向心力由万有引力和地面的支持力的合力提供。(2)在地面附近的卫星可认为其轨道半径即为地球半径，其所受重力等于万有引力，即mg＝GMmR2，得gR2＝GM(黄金代换式)，在星球质量未知时常用该式来替换。(3)对于双星问题应抓住其角速度相等，绕行的向心力大小相等。做匀速圆周运动的圆心在其连线上，但做匀速圆周运动的半径与“双星”间的距离不同，它们的轨道半径之和等于它们之间的距离。(4)卫星变轨时，首先要弄清是使卫星做离心运动还是做近心运动，要使其做离心运动应先增大速度，做离心运动后速度变小；相反要使其做近心运动应先减小速度，做近心运动后速度变大。1.利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程(欲知)曲线运动规律――→等效分解(只需研究)两直线运动规律――→等效合成(得知)曲线运动规律。2．在处理实际问题中应注意(1)只有深刻挖掘曲线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方向上的直线运动。这是分析处理曲线运动的出发点。切记不可用分解力的思路分解运动。(2)合运动与分运动的效果相同，具有等效性。进行等效合成时，要寻找两个分运动时间的联系——等时性。这往往是分析处理曲线运动问题的切入点。1．如图3－5所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度()A．大小和方向均不变图3－5B．大小不变，方向改变C．大小改变，方向不变D．大小和方向均改变解析：解答有关运动的合成与分解问题，关键是弄清楚各分运动的性质，对于用绳或杆的连接体问题，沿绳或杆方向的分运动速度大小相同。本题橡皮参与了两个分运动，一个是沿水平方向与铅笔速度一样的匀速直线运动，另一个是竖直方向上与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动，这两个匀速直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动，故A正确。答案：A圆周运动中动力学问题属于牛顿第二定律问题，其解题步骤为：(1)确定研究对象，进行受力分析。应注意分析性质力，不分析效果力，向心力是效果力。(2)建立坐标系，正交分解。应根据题意确定物体的运动轨道和圆心，以指向圆心方向为一坐标轴方向。(3)列方程Fx＝maxFy＝may。(4)解方程，得出结论。[特别提醒](1)物体做匀速圆周运动时，其合外力提供向心力；物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径指向圆心方向的分力。(2)对于曲线运动，用正交分解法处理力时，一般将力沿切线方向和沿法线方向分解。2．如图3－6，AB和BC是两段相切于B点顺连在一起的完全相同的粗糙的圆弧形路面，且A、B、C在同一水平面上。图3－6质量为m的小物块以初速度v0从A端沿路面滑到C端时的速度大小为v1；而以同样大小的初速度v0从C端沿路面滑到A端时的速度大小为v2，则如何比较v1、v2的大小？解析：求解这类题的思路是：由速度大小→向心力大小→压力大小→摩擦力大小→结论。小物块从A端沿路面滑到C端，先以较大速度经过“凸”圆弧AB，由于存在摩擦，再以较小的速度经过“凹”圆弧BC，相应的对“凸”圆弧和“凹”圆弧产生的压力就较小，滑动摩擦力也就较小，故到达C端时的速度大小v1就比较大。答案：v1v21.两条基本思路(1)当天体转动时，由万有引力提供向心力GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r。主要用于计算天体的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题。(2)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，GMmR2＝mg。主要用于计算涉及重力加速度的问题。2．卫星变轨问题的分析方法卫星绕天体稳定运行时，F引＝mv2r。当卫星由于某种原因速度v突然改变时，F引和mv2r不再相等，因此不能再根据v＝GMr来确定r的大小。当F引mv2r时，卫星做近心运动；当F引mv2r时，卫星做离心运动。3．天体运动中估算题和信息题的解题方法(1)估算题天体估算题一般涉及天体质量、密度、运行周期、线速度、运行半径等。解答此类问题首先要明确万有引力提供天体做圆周运动的向心力，根据已知条件运用牛顿第二定律灵活选取表达式进行求解。在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面的物体受到的地球的吸引力近似等于重力，地面附近重力加速度g＝9.8m/s2，地球自转周期T＝24h，公转周期T′＝365d，月球绕地球运动的周期约为27d，及月球自转周期约为27d等。(2)信息题正确的解题方法是：仔细阅读，明确题意，正确提取题中的有用信息，即看题目要我们做什么，求哪些物理量。把有用信息提取出来，建立模型，然后分析其过程，看看有哪些物理规律适用，列出方程，求解即可。[特别提醒]在利用万有引力定律和向心力公式进行天体运动问题的相关计算时，涉及的数值通常较大，所以在解题过程中应多采用公式推导，减少中间量的计算，以减小计算结果的误差。3．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比()A．轨道半径变小B．向心加速度变小C．线速度变小D．角速度变小解析：用万有引力处理天体问题的基本方法是：把天体的运动看成圆周运动，其做圆周运动的向心力由万有引力提供。GMmr2＝mv2r＝mrω2＝mr(2πT)2＝m(2πf)2r＝ma，当周期T变小，轨道半径变小，A正确；向心加速度变大，B错误；线速度和角速度都变大，C、D错误。答案：A[命题视角1]如图3－7所示，边长为L的正方形ABCD中有竖直向上的匀强电场。一个不计重力的带电粒子，质量为m，电荷量为q，以初速度v0从A点沿AD方向射入，正好从CD的中点射出，而且射出时速度方向与CD成θ＝30°的夹角。图3－7(1)该带电粒子带什么电？(2)该电场的场强E为多少？[规范解题](1)根据做曲线运动的物体受的合力总是指向曲线凹的一侧，故带电粒子受到的电场力竖直向下，带电粒子所受电场力方向与场强方向相反，所以粒子应带负电。(2)带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向：L＝v0t，竖直方向：vy＝at，a＝Eqm根据带电粒子离开电场时的运动方向，由题图可得vyv0＝tan(90°－θ)联立解得该电场的场强E＝3mv20qL。[答案](1)负电(2)3mv20qL[命题视角2](2011·广东高考)如图3－8所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底图3－8线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是()A．球的速度v等于Lg2HB．球从击出至落地所用时间为2HgC．球从击球点至落地点的位移