Wilcoxon符号秩检验

§2.2Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxonsigned-ranktest)是非参数统计中符号检验法的改进，它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负，还利用了差的值的大小的信息。虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩的基本思想。例2.4下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。4.125.187.639.7410.3911.9212.3212.8913.5414.45人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为：H0：me＝8，H1：me8先计算每个样本值和原假设中me0的值之差，即Xi－8。考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。问题一般提法：假定样本X1,…,Xn来自分布连续对称的总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。问题主要是检验中位数，即原检验为H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假设。注：（1）与符号检验不同：Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。（2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点θ对称，则X的均值和中位数相同，且均为θ。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设H0：M=M0等价于H0：θ=θ0（相对于各种单双边的备择假设）。检验步骤：H0：θ＝θ0（对应于各单双边备择假设）Step1.计算i=1,2,…,n。记差为zi.Step2.将差zi.的绝对值，即…,按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本zi.的绝对值的秩，不妨记的秩为Ri。,1znziz,0ixStep3.符号秩和检验统计量为其中或者取检验统计量为其中主要取W＋为检验统计量。,1niiiRuW否则。；,00,1viiz,v1iniiRW－否则。,00,1iizuStep4设w＋表示由样本算出的W＋的值。（1）H0：θ＝θ0,H1：θθ0p值＝P(W＋≥w＋)；（2）H0：θ＝θ0,H1：θθ0p值＝P(W＋≤w＋)；（3）H0：θ＝θ0,H1：θ≠θ0p值＝2min{P(W＋≥w＋)，P(W＋≤w＋)}对Step4的注解：对于对称中心不为0的总体分布，可以转化为中心为0的情况进行检验！现不妨假设θ0＝0，则原假设变为H0：θ＝0对于这种检验，通过严格的证明来说明p值的选取。（1）H0：θ＝0,H1：θ0。若H1成立，则总体X的分布关于点θ对称。从而有，P(X0)P(X0)，且对任意正数a，P(Xa)P(X－a)。所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本数据的个数比较多，且取正值的样本数据的拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W＋的值较大。所以p值＝P(W＋≥w＋)。例2.2中我们的检验设为：H0：M＝8，H1：M8下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验H0：θ＝8，H1：θ8检验步骤Step1.对于i=1,2,…,n，计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下：样本xi4.125.187.639.7410.3911.9212.3212.913.5414.45zi的符号－－－＋＋＋＋＋＋＋zi的绝对值3.882.190.371.742.393.924.324.895.546.45秩53124678910Step2.计算W＋。W+=2+4+6+7+8+9＋10＝46利用W＋的分布，辅以统计软件，可计算出p值＝0.032。Step3.所以给定α＝0.05时，此时可拒绝原假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。W＋的分布性质设独立同分布样本x1,…,xn来自连续对称总体X,X分布的对称中心为θ。为方便讨论，不妨设原假设为H0：θ＝0，即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W＋的性质。注：W＋与W－有下列关系：W++W-=n(n＋1)/2（关键）性质2.1令则在总体的分布关于原点0对称时，W＋与S同分布。注：S是W＋当Ri＝i时的特殊情况。研究W＋的分布可转为研究S的分布。,1niiiuS概率分布性质2.2在总体的分布关于原点0对称时，W＋的概率分布为P(W+=d)=P(S＝d)=tn(d)/2n,其中，d＝0,1,2,…,n(n+1)/2，tn(d)表示从1,2,…,n这n个数中任取若干个数（包括一个都不取），其和恰为d，共有多少种取法。对称性性质2.3在总体的分布关于原点0对称时，W＋服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有的d=0,1,2,…,n(n+1)/4，有P(W+=n(n+1)/4－d)＝P(W+=n(n+1)/4+d),P(W+≤n(n+1)/4－d)＝P(W+≥n(n+1)/4+d)。期望方差及渐近正态性性质2.4在总体分布关于原点0对称时，E(W+)=n(n+1)/4，D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。性质2.5若总体分布关于原点0对称，则在样本容量n趋于无穷大时，W+有渐近正态性：W＋N（n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24）L有结的情况下，用平均秩法。性质2.6在总体的分布关于原点0对称，有结秩取平均时，E(W+)=n(n+1)/4，D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24－其中g表示结的个数，表示第i个结的长度。有结时，W＋的期望和方差实际上是条件期望和方差，它们是在样本数据中给定有g个结，且结的长度分别给定为时的条件期望和条件方差。48/)(13igiiig,,,21与符号检验的比较。续例2.2两个不同方向的假设检验。考虑下面的假设检验：H0：M=12.5,H1：M12.5（H2）比较它与前一个假设检验：H0：M=8,H1：M8（H1）对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符号检验方法。符号检验结果对于检验（H1）：S－=3,S+=7,检验统计量K＝S＋＝3，p值＝0.171875，对α＝0.05，不能拒绝H0。对于检验（H2）：S－=7,S+=3,检验统计量K＝S＋＝3，p值＝0.171875，对α＝0.05，不能拒绝H0。结果完全对称！说明符号检验只与符号有关！Wilcoxon符号秩检验结果对于检验（H1）：检验统计量W+=46，p值＝0.03223，对α＝0.05，拒绝H0。对于检验（H2）：检验统计量W＋＝11，p值＝0.05273，对α＝0.05，不能拒绝H0。结果不对称！说明Wilcoxon符号秩检验不仅与符号有关，还和数值大小有关！Wilcoxon符号秩检验置信区间Walsh平均为利用更多的信息，可求每两个数的平均(Xi＋Xj)/2,i≤j，（一共有n(n+1)/2个）来扩大样本数目。这样的平均称为Walsh平均。Walsh平均和W+的关系。在原假设成立的条件下，即H0：θ＝θ0成立，有特别当原假设为H0：θ＝0成立，有}.,2{#)(00jiXXWji}.,02{#jiXXWjiHodge－Lehmann估计量利用Walsh平均可以得到对称中心θ的点估计，即可由Walsh平均的中位数来估计对称中心，称之为Hodge－Lehmann估计量。}.,2{ˆjiXXmedianjiθ0的置信区间。可利用Walsh平均得到θ0的100(1-α)%置信区间。具体步骤：(1)先求出满足下面两式的整数k，即k使得P(W+≤k)≤α/2，P(W+≥n－k)≤α/2，(2)将求出的Walsh平均数，按升幂排列，记为W(1),…,W(N)，N=n(n+1)/2，则θ0的100(1-α)%置信区间为[W(k＋1),W(N－k)]。再看看例2.2的置信区间。求出其Walsh平均，共55个值。取α=0.05，则求得k=9时，有P(W+≤9)≤0.025，P(W+≥55－9)≤0.025，所以θ的95％的置信区间为[W(10),W(46)]＝[8.02,12.73]。两配对数据比较问题两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题，用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析。方法是将两成对样本作差，观察它们的差值，将其视为新的样本，所以两配对样本实际上就是单一样本。例2.3给12组双胞胎做心理检验，以测量每个人的进取心。我们感兴趣的是对双胞胎进行比较，看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取心。结果如下，高分显示更多的进取心。表中，Xi表示第一个出生的得分，Yi表示第二个出生的得分。Di表示两者差，即Di＝Yi－Xi,i=1,2,…,12。Ri表示Di绝对值的秩。则D1，…，D12是独立同分布的，且设总体为D。问题是求D的中位数MD的95％置信区间。双胞胎组123456789101112Xi867177689172779170718887Yi887776649662658862808172Di符号＋＋－－＋－－－－＋－－|Di|261451012389715Ri261451011389712Di的12个值按顺序排列为：-15,-12,-10,-8,-7,-4,-3,-1,2,5,6,9间为[W(15),W(64)]。这15个最小的平均，由(-15-15)/2开始，是-15,-13.5,-12.5,-12,-11.5,-11,-11,-10,-10,-9.5,-9.5,-9,-9,-8.5,-8所以，W(15)＝－8，即置信区间下界是－8。15个最大的平均，从(9+9)/2开始，是9,7.5,7,6,5.5,5.5,5,4,4,3.5,2.5,2,2,1.5,1所以，W(64)＝1,置信区间的上界是1。所以中位数95％的置信区间是[－8,1]。