概率2.3 互斥事件

2．3互斥事件[学习目标]1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一互斥事件与对立事件定义公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下的两个事件A与B称作互斥事件.(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝；(2)若A1，A2，…，An中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝对立事件事件“A不发生”称为A的对立事件，记作A，对立事件也称为，在每一次试验中，对立的事件A与A不会，并且一定.P(A)＝给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即.(2)的概率为1.(3)的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率fn(A＋B)＝fn(A)＋fn(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．反思与感悟1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．反思与感悟1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．求复杂事件的概率例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解后反思求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)＝1－P(B)(B是A的对立事件)．1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．32．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆DB．B∩D＝∅C．A∪C＝DD．A∪C＝B∪D5．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A.35B.25C.14D.186．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________．8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．一、选择题1．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于()A．0.3B．0.2C．0.1D．不确定2．若A、B是互斥事件，则()A．P(A＋B)1B．P(A＋B)＝1C．P(A＋B)1D．P(A＋B)≤13．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为()A．0.09B．0.97C．0.99D．0.964．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是()A．0B．1C．2D．37．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13B.12C.23D.56二、填空题8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．由题意，得PA＝13，PB＋C＝512，PC＋D＝512，PA＋B＋C＋D＝1，即PB＋PC＝512，PC＋PD＝512，13＋PB＋PC＋PD＝1，解得PB＝14，PC＝16，PD＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人互相可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标]1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考几何概