应用数学第6讲---复合函数求导与高阶导数

应用数学复合函数求导与高阶导数第六讲——(TheChainofRule&HigherDerivative)应用数学知识目标理解复合函数求导的链式法则了解高阶导数的运算法则掌握混合式求导法则能力目标会对复合函数进行求导数能根据多重指标的经济总量进行边际分析会求高阶导数应用数学问题一：自驾游的成本问题当你选择自己驾车出去旅游的时候，需要考虑汽车行驶过程中所产生的成本问题！这里不仅仅需要考虑油耗，而且还需要考虑高速费用等因素.当我们单纯地只考虑油耗的时候会发现，油耗会与所行驶的公里数有关，而公里数又取决于我们行驶过程中的速度以及行驶的时间有关，即：油耗G是公里数s的函数，而公里数又是速度和时间t的函数.为了方便起见，我们先假设行驶过程中保持速度大小不变，比如：汽车每行驶一公里耗油0.189L汽油，且轿车以80km/h的速度行驶，那么汽车汽油的消耗率是多少?应用数学我们期望的汽油消耗率的单位为：L/h，问题一：自驾游的成本问题已知：汽油关于路程的消耗率0.189L/kmdGds路程关于时间的增长率80km/hdsdt我们需要计算汽油关于时间的消耗率，或dGdt显然：dGdtdGdsdsdt0.189L/km80km/h15.12L/h应用数学复合函数求导法则从自驾游的成本问题中，我们容易发现：汽油的消耗量G是路程s的函数：()GGs路程s是时间t的函数：()sst从而，汽油消耗量G也是时间t的函数：(())GGst而汽油消耗量关于路程的变化率：()dGGsds路程关于时间的变化率：()dsstdt这样，汽油关于时间的消耗率：(())()()dGdsGstGsstdsdt应用数学复合函数求导法则——链式法则如果函数和可导，则函数的导数()yfu()ugx(())yfgx为：()()(())()uxdydydufuuxfgxgxyudxdudx注意：复合函数求导的关键在于找准复合函数的复合过程，每一层的函数都是基本初等函数，它们的导数都按照基本求导公式进行求解，在将每一层的函数代入即可！例如：(sin2)(sin)cos(2)2cos2cos2xuuuxux应用数学例1求下列函数的导数(1)()sin2fxx(2)2()xfxe(3)2()1fxx(4)2()1fxx解(1)()(sin2)fxx(sin)xuucos(2)ux2cos2x另：()(sin2)fxx(2sincos)xx2(sin)cossin(cos)xxxx2coscossinsinxxxx2cos2x应用数学例1求下列函数的导数(1)()sin2fxx(2)2()xfxe(3)2()1fxx(4)2()1fxx解(2)2()()xfxe()uxeu(2)uex22xe另：2()()xfxe()xxee()()xxxxeeeexxxxeeee22xe应用数学例1求下列函数的导数(1)()sin2fxx(2)2()xfxe(3)2()1fxx(4)2()1fxx解(3)2()(1)fxx12xuu1221(1)2ux122xu21xx应用数学例1求下列函数的导数(1)()sin2fxx(2)2()xfxe(3)2()1fxx(4)2()1fxx解(4)2()(1)fxx12xuu1221(1)2ux1(2)2xu21xx应用数学例2求下列函数的导数(1)10()(31)fxx(2)2()sinfxx(3)2()1fxxx(4)2()sin21fxxx解(1)10()(31)fxx910(31)31xx930(31)x(2)2()(sin)fxx212(sin)sinxx2sincosxxsin2x应用数学例2求下列函数的导数(1)10()(31)fxx(2)2()sinfxx(3)2()1fxxx(4)2()sin21fxxx解(3)2()1fxxx21xx211xx2211xxx应用数学例2求下列函数的导数(1)10()(31)fxx(2)2()sinfxx(3)2()1fxxx(4)2()sin21fxxx解(4)2()sin21fxxx2(sin2)1xx22cos21xxx应用数学超过两层的复合函数的求导法则如果函数()((()))Fxfghx可以看成：()(())FxfGx，而()(())Gxghx这样，三个函数进行复合的复合函数求导数时，也可以将它分解成两个函数之间的逐层复合！例如：sin2()xFxe显然，它可以看成：(),sin2uFxeux两层复合函数因此：sin2()xFxesin2sin2xexsin22cos2xex同理，对于多层函数进行复合的函数求导数时，依然满足链式法则应用数学例3求下列函数的导数(1)()lnlnsinfxx(2)()arctanfxx(3)2()ln(1)fxxx(4)()ln(sectan)fxxx解(1)()lnlnsinfxx1(lnsin)lnsinxx11(sin)lnsinsinxxx11coslnsinsinxxxcotlnsinxx应用数学例3求下列函数的导数(1)()lnlnsinfxx(2)()arctanfxx(3)2()ln(1)fxxx(4)()ln(sectan)fxxx解(2)()arctanfxx21()1()xx1112xx12(1)xx应用数学例3求下列函数的导数(1)()lnlnsinfxx(2)()arctanfxx(3)2()ln(1)fxxx(4)()ln(sectan)fxxx解(3)2()ln(1)fxxx22111xxxx22111xxxx221111xxxx211x应用数学例3求下列函数的导数(1)()lnlnsinfxx(2)()arctanfxx(3)2()ln(1)fxxx(4)()ln(sectan)fxxx解(4)()ln(sectan)fxxx1sectansectanxxxx21sectansecsectanxxxxxsecx应用数学练习1.()lncosxfxe2.1sin()xfxe3.1()arctanfxx4.()ln(csccot)fxxx5.()xfxx6.()arctanxfxe应用数学问题二：成本增加速度问题某企业生产两种不同的产品，根据产品特性，这两种产品的成本函数不同，分别为：1()0.53Cqq(万元)22()0.010.52Cqqq(万元)根据导数的经济学含义可知，这两种产品成本的增加速度(即边际成本)分别为：1()0.5Cq2()0.020.5Cqq51015204681012应用数学问题二：成本增加速度问题从图像上可以看到，成本函数增长的势头比要大.在经济学中，我们知道导数表示的是边际，而边际表示的是变化率，从两个成本函数的导数可以看出，第一种产品的边际成本不变，即对于第一种产品来说，其成本变化率跟产量无关.而第二种产品的边际成本与产量有关，那么两种产品成本增加速度的变化率呢?1()Cq2()Cq变化率即为导数1()0.50Cq2()0.020.50.02Cqq应用数学高阶导数像这样，对于一个函数求出导数之后再求一次导数称为——二阶导数.一般地，若函数f(x)的导数在点x处依然可导，则称()fx()fx的导数为函数f(x)的二阶导数，记作：或或y()fx22dydx即22()()ddydyyyfxdxdxdx类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，以此类推等等.二阶以及二阶以上导数称为高阶导数具体见78页应用数学例4求下列函数的n阶导数(1)2()xfxe(2)()sinfxx(3)()nfxx(4)1()1fxx解(1)2()2xfxe222()(2)2xxfxee2232()(2)2xxfxee根据数学归纳法()2()2nnxfxe应用数学例4求下列函数的n阶导数(1)2()xfxe(2)()sinfxx(3)()nfxx(4)1()1fxx解(2)()cossin2fxxx2()sinsin22fxxx根据数学归纳法()()sin2nnfxx应用数学例4求下列函数的n阶导数(1)2()xfxe(2)()sinfxx(3)()nfxx(4)1()1fxx解(3)1()nfxnx12()(1)nnfxnxnnx根据数学归纳法()()!nfxn(1)()0nfx应用数学例4求下列函数的n阶导数(1)2()xfxe(2)()sinfxx(3)()nfxx(4)1()1fxx解(4)12()(1)(1)(1)fxxx根据数学归纳法()1(1)!()(1)nnnnfxx23()(1)(1)(1)(2)(1)fxxx应用数学练习求下列函数的高阶导数(1)()xfxe(2)()cosfxx(3)1020()(21)(32)fxxx(4)()ln(1)fxx应用数学作业P8310、11