W D3_3洛必塔

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式00第三节机动目录上页下页返回结束洛必达法则第三章微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束一、)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf定理1.型未定式00(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束证定义辅助函数则有推论1.定理1中ax换为,ax之一,推论2.若)()(limxFxf理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,x洛必达法则定理1目录上页下页返回结束例1.求解:原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xx机动目录上页下页返回结束例2.求解:原式limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考:如何求nnn12arctanlim(n为正整数)?型机动目录上页下页返回结束二、型未定式)()(lim)3xFxfax存在(或为∞))()(limxFxfax定理2.证:)()(limxFxfax仅就极限存在的情形加以证明.)()(limxFxfax(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束,)()()()2内可导在与axFxf1)0)()(limxFxfax的情形)()(limxFxfaxlimax)(1xF)(1xflimax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax从而型00机动目录上页下页返回结束2)0)()(limxFxfax的情形.取常数,0k,0kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用1)中结论机动目录上页下页返回结束3))()(limxFxfax时,结论仍然成立.(证明略)说明:定理中ax换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,xx,x定理2目录上页下页返回结束例3.求解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx型机动目录上页下页返回结束例4.求.)0,0(limnexxnx(2)n不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数k,使当x1时,机动目录上页下页返回结束.)0(0lnlimnxxnx例3.例4..)0,0(0limnexxnx说明:1)例3,例4表明x时,,lnx后者比前者趋于更快.例如,而)0(xe用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束3)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1(limxxx1机动目录上页下页返回结束三、其他未定式:解决方法:通分转化000取倒数转化0010取对数转化例5.求).0(lnlim0nxxnx型0解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动目录上页下页返回结束型.)tan(seclim2xxx解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化000取倒数转化0010取对数转化例7.求.lim0xxx型00解:xxx0limxxxeln0lim0e1利用例5例5目录上页下页返回结束通分转化000取倒数转化0010取对数转化例8.求.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00机动目录上页下页返回结束nnnneln11例9.求.)1(limnnnn分析:为用洛必达法则,必须改求.)1(lim121xxxx法1用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁!21limnn法2)1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0～u1ue原式例3目录上页下页返回结束内容小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy令取对数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf不存在,是否)()(xgxf的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上页下页返回结束原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(x～x)03(2123分析:分析:203cos1limxxx30limxx3.原式xsin～x1coslim0xxxxsin222103limxxxxcos1～221x6161机动目录上页下页返回结束xxxxxx20sin)sin(coslim作业P147-148A类:1(3;4;5;8;10);2;B类:1(2;4;6;8;10);2.第三节目录上页下页返回结束求下列极限:];)11ln([lim)12xxxx解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220xxxxxxx;1lim)2211000xxex])11ln([lim)12xxxx)1(2lim0tttt备用题ttt21lim11021)1(xt令机动目录上页下页返回结束令,12xt则ttet50lim原式=txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动目录上页下页返回结束xxxxxcossec])1ln[(lim2220xxxxxcossec)1(lnlim420xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解:原式=342xxxxtansec第三节目录上页下页返回结束